Раздел 4. Кривые И ПОВЕРХНОСТИ второго порядка
Таблица 4.1. Канонические уравнения кривых второго порядка
| Окружность | |||||||||
| каноническое уравнение | уравнение с центром в точке (xo, yo) | параметрические уравнения | |||||||
| x2 + y2 = R2 | (x - xo)2 + (y - yo)2 = R2 | 
| |||||||
| R - радиус окружности | |||||||||
| Эллипс | |||||||||
| каноническое уравнение | уравнение с центром в точке (xo, yo) | параметрические уравнения | |||||||
| 
| 
| |||||||
| Параметры: a, b - полуоси (a > b) a - большая полуось b – малая полуось | c - фокусное расстояние e - эксцентриситет t – параметр | Основные соотношения:
c2 = a2 - b2;
e =  ; 0 £ e < 1
| |||||||
| Гипербола | |||||||||
| каноническое уравнение: | уравнение с центром в точке (xo, yo): | параметрические уравнения: | уравнения асимптот: | ||||||
| 
| 
| 
| ||||||
| Параметры: a, b - полуоси a - действительная полуось b - мнимая полуось | c – фокусное расстояние e – эксцентриситет t – переменный параметр | Основные соотношения: c2 = a2 + b2;
e = ; e > 1
| |||||||
| Парабола | |||||||||
| каноническое уравнение: y2 = 2px | Уравнение с вершиной в точке (xo, yo): (y - yo)2 = 2p(x - xo) | уравнение директрисы: x = p/2 | |||||||
| p – параметр | |||||||||
Таблица 4.2. Свойства кривых второго порядка
| Наименование | Эллипс | Гипербола | Парабола |
Чертеж:
M – текущая
точка,
 r, r1, r2 -
фокальные
радиусы
|   Y
| y  
| y   
|
| Координаты фокусов | F1(– c, 0), F2(+ c, 0) | F1(– c, 0), F2(+ c, 0) | F(p/2, 0) |
| Каноническое уравнение |
|
| y2 = 2px |
| Элементы симметрии | Две оси симметрии и центр симметрии | Две оси симметрии и центр симметрии | Одна ось симметрии |
| Вершины | Четыре вершины | Две вершины | Одна вершина |
| Фокальные радиусы | r1 = a + ex r2 = a - ex | r1 = ex + a r2 = ex - a |
r =  + x
|
| Фокальное свойство | r1 + r2 = 2a | |r1 - r2| = 2a | r = d |
| Директриса | x = - p/2 | ||
| Оптическое свойство | Световые лучи, исходящие из одного фокуса, после отражения от эллиптического зеркала концентрируются в другом фокусе. | Световые лучи, исходящие из одного фокуса, после отражения от гиперболического зеркала кажутся исходящими из другого фокуса. | Световые лучи, исходящие из фокуса, после отражения от параболического зеркала образуют пучок, параллельный оси симметрии. |
Таблица 4.3. Преобразование декартовой прямоугольной
системы координат на плоскости
Поворот осей координат относительно начала координат:
Обозначения:
j - угол поворота
(x, y) - координаты точки в исходной системе координат
(x¢, y¢) - координаты точки в повернутой системе координат
r =  - радиус-вектор точки в исходной системе координат
r¢ =  - радиус-вектор точки в повернутой системе координат
Матрица поворота:
Tj =  ,  = T- j = 
Зависимость между координатами в матричной форме:
r = Tj r¢, r¢ = T- j r
и с помощью системы уравнений:
 ; 
|
Параллельный перенос осей координат:
Обозначения:
(xo, yo) - координаты начала координат перенесенной системы в исходной
(x¢, y¢) - координаты точки в исходной системе координат
(x², y²) - координаты точки в перенесенной системе
ro =  - радиус-вектор начала координат перенесенной системы в исходной
r¢ = - радиус-вектор точки в исходной системе
r² =  - радиус-вектор точки в перенесенной (новой) системе координат
Зависимость между координатами точки в исходной системе и перенесенной (новой) системе
в матричной форме: r¢ = r² + ro, r² = r¢ - ro
и с помощью системы уравнений:  , 
|
Таблица 4.4. Нахождение матрицы поворота к главным
направлениям квадратичной формы
Исходные данные:
F(x, y) = a11x2 + 2 a12xy + a22y2 - квадратичная форма
A =  - матрица квадратичной формы
|
¯
Составление характеристического уравнения и его решение:
|A - lE| = 0 или  = 0;
l1 и l2 - корни характеристического уравнения
|
¯
Подстановка корней характеристического уравнения l1 и l2 в матричное уравнение Ar = lr или в систему уравнений  .
Примечание. Уравнения системы являются линейно зависимыми, поэтому следует использовать одно из них.
|
¯
Вычисление собственных векторов r1 =  и r2 =  .
Примечания. 1. При вычислении собственных векторов r1 и r2 одна из координат этих векторов задается произвольно.
2. Поскольку векторы r1 и r2 ортогональны, то ×условие r1×r2 = 0 можно использовать для контроля правильности вычислений.
|
¯
Нормирование собственных векторов: e1 =  r1, e2 =  r2.
|
¯
| Составление матрицы поворота к главным направлениям квадратичной формы:
Tj = ||e1|e2|| = .
Примечания. 1. Направления векторов e1 и e2 рекомендуется выбирать такими, чтобы диагональные элементы матрицы Tj были положительными; тогда поворот производится на острый угол.
2. Если sin j > 0, то поворот в положительном направлении (против часовой стрелки); если же sin j < 0, то поворот в отрицательном направлении.
|
¯
| Вычисление угла поворота j по элементам матрицы Tj. |
Таблица 4.5. Схема упрощения уравнения кривой второго порядка
| Исходные данные: общее уравнение кривой второго порядка a11x2 + 2 a12xy + a22y2 + 2b1x + 2b2y + c = 0, где F(x, y) = a11x2 + 2 a12xy + a22y2 - квадратичная форма, L(x, y) = 2b1x + 2b2y - линейная часть, c - свободный член. |
¯
| Получение собственных чисел l1 и l2 и матрицы Tj поворота к главным направлениям квадратичной формы F(x, y). |
¯
Поворот осей координат к главным направлениям квадратичной формы (кривой): а) преобразование квадратичной формы к каноническому виду
F(x¢, y¢) = l1x¢ 2 + l2y¢ 2;
б) преобразование линейной части L(x¢, y¢) = 2= ||b1 b2|| Tj = 2  x¢ + 2  y¢.
Результат: уравнение кривой в повернутых координатах:
l1x¢ 2 + l2y¢ 2 + 2 x¢ + 2 y¢ + c = 0.
|
¯
Параллельный перенос начала координат (системы координат O¢x¢y¢ ) в точку (  ,  ):
а) если l1×l2 ¹ 0, то ( , ) - центр кривой; выделяются полные квадраты для переменных x¢ и y¢.
Результат: l1(x¢ - )2 + l2(y¢ - )2 = с².
б) если l1×l2 = 0, то ( , ) - вершина кривой (параболы); выделяется полный квадрат для x¢, если l1 ¹ 0, и для y¢, если l2 ¹ 0 .
Результат: l1(x¢ - )2 = -2 (y¢ - ) или l2(y¢ - )2 = -2 (x¢ - ).
|
¯
| Запись полученных уравнений в преобразованных координатах путем замены
x¢ - = x², y¢ - = y²: а) l1x² + l2 y² = с² ;
б) l1x² 2 = -2 y² или l2y² 2 = -2 x².
|
¯
| Запись полученных уравнений в каноническом виде : | ||
1. Случай l1×l2 > 0:
кривая эллиптического типа, каноническое уравнение  .
| 2. Случай l1×l2 < 0:
кривая гиперболического типа, каноническое уравнение  .
| 2. Случай l1×l2 = 0: кривая параболического типа, каноническое уравнение y² 2 = 2px² или x² 2 = 2py². |
¯
| Результат упрощения: каноническое уравнение кривой второго порядка. |
Примечания к табл. 4.5.
1. При упрощении уравнений кривых второго порядка возможны вырожденные и мнимые случаи, которые здесь не рассматриваются.
2. Если в исходном уравнении a12 = 0, то производится только параллельный перенос системы координат.
Таблица 4.6. Канонические уравнения поверхностей второго порядка
| Цилиндрические поверхности (случай F(x,y) = 0) | |||||
1) эллиптический
цилиндр
|
2) гиперболический
цилиндр
| 3) параболический цилиндр y2=2px | |||
| Поверхности, имеющие центр симметрии | |||||
1) эллипсоид
| 2) сфера x2 + y2 + z2 = R2 |
3) конус
| |||
4) однополостный гиперболоид
|
5) двуполостный гиперболоид
| ||||
| Параболоиды | |||||
1) эллиптическийпараболоид
 , p > 0, q > 0
|
2) гиперболическийпараболоид
 , p > 0, q > 0
| ||||
Примечание. Для каждого вида поверхности приведен один вариант канонического уравнения.