Ранг и базис системы векторов

Линейные пространства

Понятие линейного пространства

 

Определение. Множество Z называется линейным пространством, а его элементы векторами, если:

а) задан закон (операция сложения), по которому любым двум элемен-

там и из сопоставляется элемент, называется их суммой и обозначается

+ ;

б) задан закон (операция умножения на число), по которому элементу

из и числу α сопоставляется элемент из Z, называемый произведением

на α и обозначается α ;

в) для любых элементов , , из и любых чисел α и β выполне­ны

следующие требования (аксиомы):

1. + = +

2. ( + ) + = + ( + )

3. Существует элемент такой, что для каждого из выполнено ра­венство + 0 =

4. Для каждого уществует элемент такой, что + ( - )= .

5. α( + ) = α + α .

6. (α + β) х = α + β .

7. α (β ) =( α β) .

8. 1· = .

Примеры линейных пространств:

1. Множество свободных векторов геометрического пространства которые складываются и умножаются на число по обычным правилам векторной алгебры.

2. Множество всех многочленов степени не выше второй, которые скла­дываются и умножаются на число по обычным правилам алгебры.

3. Множество упорядоченных наборов чисел (строк)

= (x1, x2, …, xn), если действия над строками определяются следующим образом:

+ = (x1, x2, …xn) + (y1, y2, …yn), = (x1+y1, x2+y2, …xn+yn).

α = α (x1, x2, …xn) = (αx1, αx2, … αxn).

Данное линейное пространство строк обозначим Rn.

Линейная зависимость и линейная независимость векторов линейного пространства

Определение. Векторы ( 1, 2, … m) называются линейно«зависимыми, если существуют такие числа α1, α2, … αm, из которых хотя бы одно не равно нулю, что α1 1+α2 2+ …+ αm n = 0.

Определение. Векторы ( 1, 2, … m) называются линейно независимыми, если равенство α1 1+α2 2+ …+ αm m = возможно только при α1 = α2 = …αm = 0.

Определение. Если вектор , выражается через векторы 1, 2, … 3 в виде

= α1 1+α2 2+ …+ αs s, то вектор называется линейной ком­бинацией векторов 1, 2, … s

Теорема. Векторы 1, 2, … m линейно зависимы тогда и только то­гда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.

Пусть даны га векторов пространства Rn:

1 =( 11, 12, … 1n),…, m =( m1, m2, … mm). Необходимо выяснить, при

каких условиях данные m векторов линейно зависимы или линейно независимы. Рассмотрим векторное равенство:

α1 (x11, x12, …x1n) + α2 (x21, x22, …x2n) + …+ αm (xm1, xm2, …xmn) = (0; 0; 0...0). Векторное равенство равносильно системы уравнений:

Если данная однородная система имеет только нулевое

α1 = α2 = …αm = 0, то векторы линейно независимы.


Систему решаем методом Гаусса.

Если система имеет ненулевое решение, то векторы линейно зависимы. Пример. Исследовать на линейную зависимость векторы

1=(1;2;3;4;1), 2=(2;-1;1;2;3), 3=(3;1;4;6;4)

Решение: α1(1;2;3;4;1) + α2(2;-1;1;2;3) + α3(3;1;4;6;4) = (0;0;0;0;0)

 

 


Система имеет бесконечное множество ненулевых решений. Следова­тельно, векторы линейно зависимы.

 

Ранг и базис системы векторов

 

Пусть дана система m векторов линейного пространства 1 =( 11, 12, … 1n),

2 =( 21, 22, … 2n), m =( m1, m2, … mm).

Определение. Базисом системы векторов называется такая ее подсистема, которая обладает следующими свойствами:

1) эта подсистема линейно независима;

2) любой вектор всей системы является линейной комбинацией векторов указанной подсистемы.

Из координат векторов составим матрицу:

По аналогии с трехмерным векторным пространством элементы любого линейного пространства называются векторами, хотя природа этих элементов может быть совсем иная.

Другими примерами вещественных линейных пространств могут служить:

1. множество столбцов из элементов, являющихся вещественными числами ;

2. множество многочленов степени не выше с вещественными коэффициентами;

3. множество всех многочленов с вещественными коэффициентами;

4. множество функций непрерывных на некотором отрезке .

В примерах 2-4 нулевым вектором является многочлен или функция тождественно равная нулю, то есть равная нулю при всех значениях аргумента. Проверку того, что указанные множества являются линейными пространствами, предоставляем читателю.

Если в примерах 1-3 слово "вещественными" заменить на "комплексными", то получим примеры комплексных линейных пространств.

Пример 18.1 Рассмотрим еще один пример линейного пространства. Пусть имеется однородная система линейных уравнений, которую запишем в матричном виде , где -- матрица системы, а -- столбец неизвестных. В силу предложения 15.3 столбцы-решения системы можно складывать и умножать на число. При этом будут получаться снова решения этой системы. Значит, на множестве решений определены операции сложения и умножения на число. Легко проверить, что эти операции удовлетворяют требованиям из определения линейного пространства. Итак, множество решений однородной системы линейных уравнений является линейным пространством. Если матрица имеет вещественные элементы, то и пространство будет вещественным, если комплексные -- то и пространство будет комплексным.

Наверх: Линейные пространства Назад: Линейные пространства