Изменение координат вектора при изменении базиса
Пусть в 
-мерном линейном пространстве 
выбран базис 
, который мы будем для удобства называть "старый" и другой базис 
, который мы будем называть "новый". Возьмем призвольный вектор 
из . Его координатный столбец в старом базисе обозначим 
, а в новом -- 
. Нам нужно выяснить, как связаны друг с другом координаты в старом и в новом базисе. Для этого нам сначала нужно "связать" друг с другом старый и новый базисы. Запишем разложения новых базисных векторов по старому базису
Составим матрицу, столбцами которой служат координатные столбцы векторов нового базиса
Эта матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому.
Замечание 18.1 Матрица перехода всегда невырождена, то есть 
.
Предложение 18.5 Координатные столбцы в старом базисе и в новом базисе связаны формулой
| (18.1) |
где справа стоит произведение матрицы перехода 
на матрицу-столбец.
Доказательство. Так как 
-- координатный столбец вектора в новом базисе, то
Заменив векторы 
их разложениями по старому базису, получим
В силу предложения 14.3 изменим порядок суммирования
Здесь мы получили разложение вектора по старому базису, причем координата вектора с номером 
равна 
. Элемент с номером столбца 
будет иметь такой же вид. Следовательно, формула (18.1) доказана.
Пример 18.4 Пусть 
, то есть -- трехмерное векторное пространство. Пусть задан ортонормированный базис i, j, k. Выберем другой (новый) базис
Возьмем вектор 
. Найдем его координаты в новом базисе.
Выпишем матрицу перехода, ее столбцы -- это координаты новых базисных векторов
Пусть 
-- координатный столбец вектора 
в новом базисе. Тогда
| (18.2) |
откуда
Найдем матрицу 
по формуле (14.14). Находим определитель
Находим алгебраические дополнения
Следовательно,
Находим координаты вектора
Таким образом, новые координаты вектора : 
, 
, 
, 
.
Тот же самый результат можно было получить, записав формулу (18.2) в виде системы уравнений
Решив эту систему, например, методом Гаусса, найдем новые координаты 
, 
, 
.
Вперед: Матрица линейного преобразования Наверх: Линейные преобразования Назад: Линейные преобразования
Определение и примеры
Рассмотрим линейное пространство и преобразование 
этого пространства, то есть закон, по которому каждому вектору 
из соответствует вектор 
из того же пространства. Вектор называется образом вектора и обозначается 
, а вектор называется прообразом вектора .
Определение 19.1 Преобразование линейного пространства называется линейным, если для любых векторов и 
и любого числа 
выполнены равенства
| (19.1) |
то есть образ суммы векторов равен сумме образов слагаемых, образ вектора, умноженного на число, равен произведению этого числа на образ вектора.
Замечание 19.1 В этой главе с каждым линейным преобразованием будет связана матрица, которую мы будем обозначать той же буквой, что и само преобразование. Чтобы их различать, мы для букв, обозначающих преобразование, будем использовать так называемый "каллиграфический" шрифт.
Линейное преобразование пространства называют также линейным отображением из в или линейным оператором из в .
Исходя из равенств (19.1) легко проверить, что
то есть образ линейной комбинации векторов равен линейной комбинации их образов.
Рассмотрим несколько примеров линейных преобразований.
Пример 19.1 Пусть -- двумерное векторное пространство, то есть множество векторов плоскости. Пусть 
. Это преобразование действует так: каждый вектор оно переводит в вектор такого же направления, но в два раза большей длины. Если считать, что все векторы имеют начало в начале координат, то преобразование можно представить как растяжение плоскости в два раза (рис. 19.1).
Рис.19.1.Преобразование растяжения
Проверим выполнение равенств (19.1)
Равенства (19.1) выполнены, следовательно, преобразование является линейным.
Пример 19.2 Пусть -- двумерное векторное пространство, -- поворот вектора по часовой стрелке на угол 
(рис. 19.2).
Рис.19.2.Преобразование поворота
Покажем, что это -- линейное преобразование.
Пусть и -- два вектора. Тогда 
-- это диагональ параллелограмма со стронами , (рис. 19.3).
Рис.19.3.Образ суммы векторов
Если параллелограмм повернуть как единое целое на угол , то его стороны станут векторами и 
, диагональ будет вектором 
. С другой стороны, диагональ тоже повернулась на угол и поэтому является вектором 
. Следовательно, 
, первое из условий (19.1) выполнено.
Пусть -- число. Из рисунка 19.4 очевидно, что 
.
Рис.19.4.Образ вектора, умноженного на число
Следовательно, преобразование -- линейное.
Упражнение19.1.1. Пусть -- двумерное векторное пространство, 
-- некоторая прямая, проходящая через начало координат, -- преобразование, переводящее каждый вектор в вектор симметричный исходному относительно прямой (рис. 19.5). Другими словами, является зеркальным отражением вектора в прямой .
Рис.19.5.Преобразование отражения
Докажите, что является линейным преобразованием.
Упражнение19.1.2. Пусть -- двумерное векторное пространство, -- некоторая прямая, проходящая через начало координат, -- преобразование, переводящее каждый вектор в его проекцию на прямую (рис. 19.6).
Рис.19.6.Преобразование проектирования
Докажите, что является линейным преобразованием.
Пример 19.3 Пусть -- пространство всех многочленов, -- преобразование, которое переводит вектор из , то есть многочлен, в производную этого многочлена, которая естественно является многочленом, то есть вектором из . Пусть 
, то есть 
. Тогда
Например, если 
, то 
. Покажем, что преобразование является линейным.
Пусть 
, -- число. Тогда в силу свойства линейности производной получим
Аналогично,
Следовательно, -- линейное преобразование.
Пример 19.4 Пусть -- -мерное линейное пространство, Выберем в этом пространстве базис . Тогда у любого вектора есть его координатный столбец 
. Пусть 
-- квадратная матрица порядка . Определим преобразование следующим образом: 
является вектором, координатный столбец которого равен 
(справа стоит произведение матрицы на столбец ). Покажем, что преобразование -- линейное.
Пусть и имеют координатные столбцы и 
соответственно, а их образы и -- координатные столбцы , и 
. Тогда
Но выражение в последнем равенстве справа является координатным столбцом образа суммы векторов . Следовательно, 
.
Пусть 
-- произвольное число. Тогда координатный столбец вектора 
равен 
, координатный столбец образа вектора
то есть равен числу , умноженному на координатный столбец образа вектора . Поэтому 
. Тем самым мы доказали, что преобразование является линейным.
Очевидно, что примерами линейных преобразований могут служить тождественное преобразование, то есть преобразование, переводящее каждый вектор в себя, 
, и нулевое преобразование, переводящее каждый вектор в нуль, 
.
Легко проверяется, что для любого линейного преобразования образ нуля равен нулю, 
. Действительно, в силу второго из равенств (19.1)
Вперед: Матрица линейного преобразования Наверх: Линейные преобразования Назад: Линейные преобразования
Вперед: Координаты векторов Наверх: Линейные пространства Назад: Определение и примеры
Координаты векторов
Определение 18.4 Пусть -- -мерное линейное пространство, вещественное или комплексное, -- базис. Тогда произвольный вектор из представим в виде линейной комбинации векторов базиса:
Числа 
называются координатами вектора в базисе . Столбец из координат вектора называется координатным столбцом вектора .
Предложение 18.3 Координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно.
Доказательство. Предположим противное. Пусть -- базис, в котором у вектора есть два различных набора координат:
Тогда
то есть
Так как наборы координат различны, то хотя бы один из коэффициентов справа отличен от нуля. Следовательно, векторы -- линейно зависимы, что противоречит определению базиса. Полученное противоречие означает, что предположение о наличии двух различных наборов координат неверно.
Предложение 18.4 Пусть в -мерном пространстве задан базис . Тогда координатный столбец суммы векторов равен сумме координатных столбцов слагаемых, координатный столбец произведения вектора на число равен координатному столбцу вектора, умноженному на это число.
Доказательство. Пусть векторы и 
имеют координатные столбцы и соответственно. Отсюда следует, что
Поэтому
Это равенство означает, что координатный столбец вектора 
имеет вид 
. Первая часть предложения доказана. Доказательство второй части предоставляем читателю.
Из последнего предложения следует, что как только в -мерном пространстве зафиксирован базис, каждый вектор можно заменить его координатным столбцом, и операциям сложения и умножения на число соответствуют такие же операции над их координатными столбцами. Таким образом, каждое -мерное пространство является, с точки зрения алгебры, копией пространства 
в вещественном случае, а в комплексном -- копией 
.
Вперед: Изменение координат вектора при изменении базиса Наверх: Линейные пространства Назад: Базис и размерность пространства
Вперед: Евклидово пространство Наверх: Линейные пространства Назад: Координаты векторов