Базис и размерность пространства
Так как в линейном пространстве векторы можно складывать и умножать на числа, то из них можно составлять линейные комбинации и можно ввести понятия линейной зависимости и линейной независимости системы векторов так же, как это было сделано в разделе "Линейная зависимость векторов". На случай произвольного линейного пространства определения 10.14 и 10.15 переносятся дословно. Предложения 10.6, 10.7, 10.8 переносятся дословно вместе с доказательствами.
На основе линейной зависимости в линейном пространстве вводится определение базиса. Оно почти дословно совпадает с определением 10.16.
Определение 18.2 Базисом линейного пространства называется такая конечная упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства
является линейной комбинацией этих векторов.
В отличие от трехмерного пространства векторов, в некоторых линейных пространствах базис не существует.
Пример 18.2 Пусть -- линейное пространство всех многочленов с веществеными коэффициентами. Покажем, что в этом пространстве базис не существует.
Предположим противное. Пусть векторы образуют в этом пространстве базис.
Каждый вектор пространства -- это многочлен. Пусть
![]() | |
![]() | |
![]() | |
![]() |
Из степеней многочленов выберем наибольшую и обозначим ее буквой
. Возьмем многочлен
. Так как
и векторы
образуют базис, то
, где
-- вещественные числа. Следовательно,
является суммой многочленов степеней меньших, чем
, и поэтому его степень должна быть меньше, чем
. С другой стороны, по определению, многочлен
имеет степень
. Получили противоречие. Значит, предположение о существовании базиса неверно.
Теорема 18.1 В линейном пространстве любые два базиса содержат одинаковое число векторов.
Доказательство теоремы мы приводить не будем. Желающие могут найти его в любом учебнике по линейной алгебре, например в [1].
Определение 18.3 Линейное пространство , в котором существует базис, состоящий из
векторов, называется
-мерным линейным или векторным пространством. Число
называется размерностью пространства и обозначается
. Линейное пространство, в котором не существует базис, называется бесконечномерным.
Примером бесконечномерного пространства является пространство всех многочленов с вещественными коэффициентами. Как показано в примере 18.2 в этом пространстве базис отсутствует.
Предложение 18.1 Пространство столбцов из элементов, являющихся вещественными числами, имеет рамерность
.
Доказательство. Возьмем систему векторов
Покажем, что эта система линейно независима. Составим линейную комбинацию и приравняем ее к нулю:
Преобразуем левую часть:
Следовательно,
откуда ,
,
. Итак, система векторов
-- линейно независима.
Пусть -- произвольный вектор пространства,
Очевидно, что
Следовательно, вектор является линейной комбинацией векторов
. Тем самым доказано, что векторы
образуют базис в пространстве столбцов из
элементов. Размерность пространства равна числу векторов в базисе. Следовательно, пространство --
-мерное.
Пространство столбцов из элементов, являющихся вещественными числами, обозначается
.
Предложение 18.2 Пространство столбцов из элементов, являющихся комплексными числами, имеет размерность
.
Доказательство такое же, как и в предыдущем предложении. Это пространство обозначается .
Пример 18.3 Пространство решений однородной системы линейных уравнений имеет базис из
решений, где
-- число неизвестных, а
-- ранг матрицы
. Этим базисом служит фундаментальная система решений (см. определение 15.5 и теорему 15.3).
Координаты векторов
Определение 18.4 Пусть --
-мерное линейное пространство, вещественное или комплексное,
-- базис. Тогда произвольный вектор
из
представим в виде линейной комбинации векторов базиса:
Числа называются координатами вектора
в базисе
. Столбец
из координат вектора называется координатным столбцом вектора
.
Предложение 18.3 Координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно.
Доказательство. Предположим противное. Пусть -- базис, в котором у вектора
есть два различных набора координат:
Тогда
то есть
Так как наборы координат различны, то хотя бы один из коэффициентов справа отличен от нуля. Следовательно, векторы -- линейно зависимы, что противоречит определению базиса. Полученное противоречие означает, что предположение о наличии двух различных наборов координат неверно.
Предложение 18.4 Пусть в -мерном пространстве
задан базис
. Тогда координатный столбец суммы векторов равен сумме координатных столбцов слагаемых, координатный столбец произведения вектора на число равен координатному столбцу вектора, умноженному на это число.
Доказательство. Пусть векторы и
имеют координатные столбцы
и
соответственно. Отсюда следует, что
Поэтому
Это равенство означает, что координатный столбец вектора имеет вид
. Первая часть предложения доказана. Доказательство второй части предоставляем читателю.
Из последнего предложения следует, что как только в -мерном пространстве зафиксирован базис, каждый вектор можно заменить его координатным столбцом, и операциям сложения и умножения на число соответствуют такие же операции над их координатными столбцами. Таким образом, каждое
-мерное пространство является, с точки зрения алгебры, копией пространства
в вещественном случае, а в комплексном -- копией
.