Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела. Кинематика поступательного движения материальной точки
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
Кинематика поступательного движения материальной точки
Положение материальной точки в пространстве определяется с помощью радиус-вектора 
, где 
– единичные векторы – орты, направленные по осям прямоугольной системы координат, 
– координаты точки.
Кинематическое уравнение движения материальной точки: 
, где 
– функции, выражающие зависимость координат точки от времени.
Средняя скорость:
, где 
– вектор перемещения за время 
.
Средняя путевая скорость:
, где 
– путь, пройденный за время 
.
Мгновенная скорость:
.
Среднее ускорение:
, где 
– приращение скорости за время 
.
Мгновенное ускорение:
.
Полное ускорение при криволинейном движении:
, 
,
где 
– нормальная составляющая ускорения, 
– радиус кривизны траектории: 
– тангенциальная составляющая ускорения.
Длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от 
до 
:
.
Координата материальной точки:
.
Кинематика вращательного движения материальной точки
Средняя угловая скорость: 
, где 
– угол поворота за время .
Мгновенная угловая скорость: 
.
Линейная скорость 
.
Среднее угловое ускорение 
, где 
– приращение угловой скорости за время 
.
Мгновенное угловое ускорение 
.
Тангенциальное ускорение 
.
Нормальное ускорение 
.
Угол поворота: 
.
| Прямолинейное движение | Движение по окружности |
| Равномерное движение | |
 ;  ; 
|  ;  ; 
 ;
 – период,  – частота вращения, N – число оборотов.
|
| Равнопеременное движение | |
 ;  ; 
 ;
 .
 ;
«+» – для равноускоренного движения;
«-» – для равнозамедленного движения.
|  ;  =  ;
 ,  
 ;
 ;
 ;  .
«+» – для равноускоренного движения;
«-» – для равнозамедленного движения.
|
Относительность движения.
Сложение перемещений: 
, где 
– перемещение точки относительно неподвижной системы отсчета; 
– перемещение точки относительно подвижной системы отсчета: 
– перемещение подвижной системы отсчета относительно неподвижной.
Закон сложения скоростей: 
, где 
– скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчета; 
– скорость движения подвижной системы отсчета относительно неподвижной, 
– скорость движения тела относительно подвижной системы отсчета.
Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела
Импульс материальной точки 
.
Импульс системы материальных точек 
.
Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики материальной точки): 
,
где 
– равнодействующая всех сил, действующих на точку.
Изменение импульса материальной точки за промежуток времени от до :
.
Радиус – вектор центра масс: 
.
Закон сохранения импульса для замкнутой системы: 
.
Взаимодействия в природе.
Сила гравитационного взаимодействия: 
, где 
– массы взаимодействующих материальных точек, кг; 
– расстояние между телами,м; 
– гравитационная постоянная.
Сила тяжести 
, где 
– ускорение свободного падения м/с2:
· ‑ на поверхности Земли: 
, где 
– масса и радиус Земли;
· ‑ на высоте 
над поверхностью Земли: 
;
· ‑ на глубине от поверхности Земли:
· 
при h « R.
·
Первая космическая скорость вблизи поверхности Земли:
.
Первая космическая скорость на высоте h от поверхности Земли:
.
Вторая космическая скорость:
.
Закон Гука для продольного упругого растяжения (сжатия): 
, где 
– нормальное напряжение, Па; F – сила упругости, Н; 
– площадь поперечного сечения образца, м2; 
– относительное удлинение, 
– модуль Юнга или модуль упругости, Па. Для упругой пружины закон Гука принято записывать в виде 
, где k – коэффициент жесткости, x – деформация.
Сила трения скольжения: 
, где 
– коэффициент трения скольжения; 
– сила реакции опоры.
Механическая работа и мощность.
Элементарная работа:
,
где 
– проекция силы на направление перемещения 
; 
– угол между направлением силы и перемещения.
Работа, совершаемая переменной силой на пути:
.
Работа силы тяжести вблизи поверхности Земли: 
, где 
и 
– начальная и конечная высота тела относительно начала отсчёта.
Работа силы упругости при деформации пружины: 
,
где 
и 
– начальная и конечная величина линейной деформации.
Работа силы трения: 
.
Средняя мощность за интервал времени Δt: 
Мгновенная мощность: 
.
Коэффициент полезного действия:
(%), где 
, 
, 
, 
– соответственно полезные и затраченные работа и мощность.
Кинетическая энергия материальной точки (или тела), движущейся поступательно:
, где m – масса тела, 
– его скорость, p – импульс.
Потенциальная энергия тела и .консервативная сила, действующая на тело в данной точке:
; 
,
где 
, 
, 
– единичные векторы координатных осей.
Потенциальная энергия:
· упруго деформированного тела: 
; 
– потенциальная энергия упругого деформированного тела при растяжении – сжатии; 
– напряжение, 
– объем тела, 
– модуль Юнга; 
- потенциальная энергия упруго деформированного тела при деформации сдвига, где 
– касательное напряжение, 
– модуль сдвига.
· гравитационного взаимодействия двух частиц: 
;
· тела в однородном гравитационном поле: 
, где 
– напряжённость гравитационного поля (ускорение свободного падения); 
– расстояние от нулевого уровня потенциальной энергии.
Динамика вращательного движения
Момент инерции материальной точки относительно оси вращения:
, где 
– расстояние до оси вращения.
Момент инерции системы материальных точек (тела): 
, где 
– расстояние 
–ой материальной точки массой 
до оси вращения.
В случае непрерывного распределения масс 
.
Теорема Штейнера: момент инерции тела массой m относительно неподвижной оси вращения, не проходящей через центр масс и параллельной оси вращения тела: 
, где 
– момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, 
– расстояние между осями.
Момент инерции тел правильной геометрической формы относительно неподвижной оси вращения.
| Форма тела | Ось вращения | Момент инерции |
1.Однородный шар радиусом  и массой 
| проходит через центр масс | 
|
2.Круглый однородный цилиндр или диск радиусом  и массой 
| проходит через центр масс перпендикулярно плоскости основания | 
|
3.Тонкий обруч или кольцо радиусом  и массой 
| проходит через центр масс перпендикулярно плоскости обруча | 
|
4.Однородный тонкий стержень длиной  и массой 
| проходит через центр масс стержня перпендикулярно стержню | 
|
| проходит через конец стержня перпендикулярно стержню | 
|
Момент силы относительно произвольной точки:
, где – радиус-вектор, проведенный из этой точки в точку приложения силы 
.
Модуль момента силы относительно оси: 
, где 
– плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения).
Момент импульса твердого тела относительно оси вращения.
; 
,
где 
– радиус–вектор отдельной 
-ой частицы; 
– импульс этой частицы; 
– момент инерции тела относительно оси; 
– угловая скорость.
Основное уравнение (закон) динамики вращательного движения
· относительно неподвижной точки: 
, где 
- главный (результирующий) момент всех внешних сил, действующих на систему относительно неподвижной точки О; 
- скорость изменения момента импульса системы относительно той же точки;
· относительно неподвижной оси z:, 
, где 
– угловое ускорение, 
– момент инерции тела относительно оси.
Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы:
или 
.
Элементарная работа при вращении тела: 
, где 
– момент силы относительно оси; 
– элементарный угол поворота тела.
Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:
.
Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения:
, где 
– скорость центра масс тела, 
– момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.
Условия равновесия тела.
Векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю: 
.
Векторная сумма моментов всех сил, действующих на тело, равна нулю: 
.
Элементы механики жидкостей
Гидростатическое давление столба жидкости высотой 
: 
, где 
– плотность жидкости, кг/м3.
Закон Архимеда: 
, где 
– выталкивающая сила: 
– объем погружённой части тела.
Уравнение неразрывности струи: 
,где 
– площадь поперечного сечения трубки тока; – скорость движения жидкости в этом сечении.
Уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной жидкости:
,
где 
– статическое давление жидкости для определенного сечения трубки тока; – скорость жидкости для этого сечения; 
– динамическое давление жидкости для этого сечения; 
– высота, на которой располагается сечение; 
– гидростатическое давление.
Скорость истечения жидкости из малого отверстия в открытом сосуде
(формула Торичелли): 
, где 
– глубина, на которой находится отверстие относительно уровня жидкости в сосуде.
Формула Стокса, определяющая силу сопротивления F, действующую со стороны потока жидкости на медленно движущийся в ней шарик:
, где r – радиус шарика, u – его скорость.