Підмножина. Рівність множин.
Означення 2.5. Множина 
називається підмножиною множини 
, якщо кожен елемент є елементом .
Для позначення цього факту вводиться знак « 
» – символ включення (або « 
»); іншими словами, 
.
Якщо необхідно підкреслити, що множина містить також інші елементи, крім елементів множини В, то використовують символ строгого включення: 
. Зв’язок між символами і задається виразом 
. Загалом будемо використовувати символ « ».
Говорять, що множина є істинною (або власною, від слова «власне») підмножиною , якщо і 
на відміну від неістинних (або невласних) підмножин Æ та 
будь-якої множини .
Приклад 2.8. Стосовно вищенаведеного приклада підмножинами множини U співробітників деякої фірми є множини , , 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
. Крім того можна розглядати, що
– множина співробітників фірми, яким за віком більш 40 років, є підмножиною множини співробітників за віком більш 30 років.
, 
– множина співробітників фірми за віком не більш 30 років, які мають стаж роботи не більш 5 років, є підмножиною множини співробітників фірми, яким за віком не більш 30, й одночасно є підмножиною множини співробітників фірми, які мають стаж роботи не більш 5 років.
Підкреслимо, що всі наведені приклади підмножин є прикладами істинних підмножин.
Порожня множина не містить елементів. Отже, додаючи до множини порожню множину, ми фактично нічого не додаємо. Тому завжди можна вважати, що будь-яка множина містить порожню множину як підмножину.
Приклад 2.9.Нехай 
– людська істота} і 
– людська істота жіночої статі}; тоді зрозуміло, що , а – істинна підмножина .
Треба бути уважним, щоб розрізняти елементи множини та підмножини цієї множини. Наприклад, коли пишуть 
це означає, що елемент 
є членом множини, що складається з трьох елементів: , 
і 
. Коли ж пишуть 
, це означає, що множина, що складається з одного елемента , є підмножиною множини, яка складається з трьох елементів: , , .
Таким чином, якщо Розов А.Ю. є студентом групи 1ЕК, то це означає, що цей студент є елементом множини студентів групи 1ЕК. Якщо це єдиний студент цієї групи, який склав зимову сесію на “відмінно”, то студент Розов А.Ю., є єдиним елементом множини студентів-відмінників групи 1ЕК за результатами зимової сесії, при чому .
Означення 2.6. Дві множини рівні, якщо вони складаються з одних і тих самих елементів:
.
Наприклад, 
.
Справджується таке твердження:
Тоді і тільки тоді, коли .
Можна довести таке твердження: включення множин транзитивне, тобто справджується така рівність:
якщо 
, то 
.
Множина підмножин
Слід розуміти, що елементи множини самі можуть бути деякими множинами. Наприклад, книга з множини книг у шафі може розглядатися як множина сторінок. Потрібно звернути увагу на те, що йдеться про елементи множини, а не про підмножини (ніяка сукупність сторінок не може розглядатися як підмножина множини книг).
Множина груп факультету складається із груп, тобто елементом множини є група, як неподільне ціле, в той самий час кожна група є множиною студентів, але окремий студент не є елементом множини груп факультету.
Означення 2.7. Множину, елементами якої є всі підмножини множини , називають множиною підмножин (множиною-степенем) множини і позначають 
.
Приклад 2.10.Для триелементної множини 
маємо
.
У разі кінцевої множини , що складається з n елементів, множина підмножин містить 
елементів. Слід підкреслити відмінності між відношенням належності ( 
) і відношенням включення ( ). Як уже зазначалося, множина може бути своєю підмножиною ( 
), але вона не може входити до складу своїх елементів ( 
). Навіть у разі одноелементних підмножин потрібно відрізняти множину 
та її єдиний елемент а (дивись приклад). Відношення включення має властивість транзитивності, відношення належності цієї властивості не має. Тобто, із того, що 
не витікає, що 
, як здається на перший погляд.
Приклад 2.11. Розглянемо такі множини 
, 
. Дійсно 
, але 
.
Алгебра множин
Закони алгебри множин
Операції над множинами, як і операції над логічними змінними, мають деякі властивості. Останні виражаються сукупністю тотожностей незалежно від конкретного вмісту множин, що входять у них, і є підмножинами деякого універсуму . Ми вже знаємо, що множина об’єктів разом з операціями утворюють алгебру. Множина всіх множин разом з операціями об’єднання, перерізу і абсолютного доповнення утворюють алгебру, яка називається алгеброю множин. Її основні властивості або закони алгебри множин наведені нижче.
Комутативні закони
а)  ;
| б)  .
|
Асоціативні закони
а)  ;
| б)  .
|
Дистрибутивні закони
а)  ;
| б)  .
|
Властивості Æ та
4 а)  ;
| 4 б)  .
|
5 а)  ;
| 5 б)  .
|
6 а)  ;
| 6 б)  .
|
7 а)  ;
| 7 б)  .
|
Закон ідемпотентності (самопоглинання)
8 а)  ;
| 8 б)  .
|
Закон поглинання
9 а)  ;
| 9 б)  .
|
Теорема де Моргана