Загальні відомості та означення

Класична математика є дуже потужним апаратом для розв’язання науково-технічних задач. Але не всі сфери людської діяльності допускають достатню ступінь формалізації для використання цього апарату. Людина постійно приймає рішення в соціальних процесах, опис яких характеризується неповнотою, нечіткістю та невизначеністю. Зокрема це стосується процесів соціально-економічної сфери. Основною діючою фігурою в цій сфері є людина-фахівець, яка мислить і оперує частіше за все нечіткими, нематематичними категоріями, наприклад, “у світі ще з кінця XIX сторіччя потреби практики різко посилювали увагу до інструментальних, практичних аспектів аналітичної економії, до питань функціонування ринкової економіки”.

Теорія нечітких множин дає змогу до певної міри формалізувати процеси і явища соціальної, економічної сфери та інших сфер.

Нечіткі множини широко використовуються в різних застосуваннях штучного інтелекту, теорії розпізнавання образів, теорії прийняття рішень тощо. Якщо до твердження «логічно кажучи, можна вивести майже всю сучасну математику з єдиного джерела – теорії множин» додати концепцію нечіткості, то це відкриє шлях до «подвоєння» математики: доповнюючи звичайну множину нечіткою (розпливчастою), можна кожному об’єкту в математиці поставити у відповідність його нечіткий (розпливчастий) аналог.

Означення 2.10. Нехай є множина , елементи якої позначаються через . Тоді нечіткою множиною в множині є сукупність упорядкованих пар , де а – ступінь належності елемента до нечіткої множини , тобто кожному елементу з множини ставиться у відповідність число з деякої множини чисел , де називається простором належності. Коли містить тільки дві точки 0 та 1, множина не є нечіткою, тому що, кожному елементу , який не належить нечіткій множині , відповідає ступінь належності , кожному елементу , який не належить нечіткій множині , відповідає ступінь належності .

У теорії звичайних множин введено поняття характеристичного числа

Тобто характеристичне число для всіх елементів множини ( )

Таким чином, ступінь належності в цьому випадку, повністю збігається з характеристичним числом. Тобто можна сказати, що якщо , то елемент абсолютно (на 100%) належить множині , якщо , то елемент абсолютно (на 100%) не належить множині . В цьому випадку теж є звичайною (чіткою) множиною, яка є підмножиною множини , тобто деякі елементи множин належать множині , а деякі не належать. При цьому множина містить два елемента: 1 і 0.

В випадку з нечіткими множинами може бути й не 100-відсоткова належність елементів множини до множини . Тому у подальшому вважатимемо, що є відрізком [0, 1], причому 0 й 1 є відповідно нижчим і вищим ступенями належності. Основне припущення полягає в тому, що нечітка множина може бути точно визначена зіставленням кожному об’єкту х числа, яке знаходиться в діапазоні від 0 до 1 і відображає ступінь його належності .

У теорії нечітких множин так само, як і в теорії чітких множин, широко використовується поняття універсальної множини. При цьому універсальною множиною нечіткої множини називається область визначення функції належності .

Нечітка множина , , визначається математично як сукупність упорядкованих пар, складених з елементів універсальної множини і відповідних ступенів належності або безпосередньо у вигляді функції

.

У науковій літературі можливі такі записи нечітких множин:

;

;

,

або у вигляді табл.2.1.

Таблиця 2.1  
х
0,2 0,6 0,3 0,8
                 

 

Приклад 2.17. Щоб детальніше пояснити поняття нечіткої підмножини, розглянемо такий приклад. Передбачимо, що деяка множина складається з дев’яти елементів ,

.

Отже, нечітка підмножина : не містить і ; у невеликій мірі містить , ; містить трохи більше, ніж і ; у значно більшій мірі містить і , не повністю містить і . Таким чином, можна створити математичну структуру, що дає змогу оперувати елементами.

Як приклад можна розглядати множину , де кожен елемент позначає зріст людини у сантиметрах, а саме , , , , , , , , . А множина описує таке нечітке поняття, як «бути дуже високою за зрістом людиною».

Наведемо означення поняття нечіткої підмножини, введеного засновником теорії нечітких множин Л. Заде [3]: «Нечітка підмножина універсальної множини характеризується функцією належності , що ставить у відповідність кожному елементу число із множини [0,1] і характеризує міру належності елемента підмножині ».

Означення 2.11. Множина, що містить єдиний елемент, називається синглетоном.

Синглетон може визначатися як серед чітких, так і серед нечітких множин.

Означення 2.12. Носієм нечіткої множини називається множина таких точок в , для яких функція – додатна.

Для вище приведеного прикладу 2.17 .

Означення 2.13. Висотою нечіткої множини називається величина .

Для вище приведеного прикладу .

Означення 2.14. Точкою переходу нечіткої множини називається такий елемент множини , ступінь належності якого множині дорівнює 0,5.

Для вище приведеного прикладу точка переходу – це елемент .