Тема 2, 3. Розв’язання диференціальних рівнянь, що дозволяють знизити порядок.
Одним з методів інтегрування диференціальних рівнянь другого порядку є метод пониження порядку. Суть методу полягає в тому, що за допомогою заміни змінною (підстановки) дане диференціальне рівняння зводиться до рівняння першого порядку.
Розглянемо три типи рівнянь, які допускають зниження порядку:
а) 
; б) 
; в) 
.
Рівняння а) розв’язано відносно похідної другого порядку і не містить шуканої функції 
та її похідної 
.
Рівняння б) не містить явно шуканої функції .
Рівняння в) не містить явно шуканої змінної 
.
Для рівняння а) порядок можна понизити безпосередньо шляхом послідовного інтегрування рівняння. Тоді інтегруємо і одержуємо
.
Далі інтегруємо отримане рівняння відносно змінної і знаходимо 
– загальний розв’язок даного диференціального рівняння.
Приклад 1.Розв’язати рівняння 
Інтегруємо послідовно два рази дане рівняння і отримаємо:
;
;
– загальний розв’язок даного рівняння.
Приклад 2.Розв’язати рівняння 
Інтегруємо послідовно два рази дане рівняння і отримаємо:
;
;
– загальний розв’язок даного рівняння.
Для розв’язування рівняння б) треба ввести допоміжну змінну 
, 
. Тоді 
і рівняння має вигляд 
, 
. Замінимо 
на 
і отримаємо рівняння 
. Для знаходження достатньо про інтегрувати останню рівність.
Загальний розв’язок рівняння буде мати вигляд 
.
Приклад 3.Розв’язати рівняння 
.
Нехай , , тоді 
це рівняння з відокремленим змінними 
. Інтегруємо його і отримаємо 
. Повернемося заміни і одержимо 
, інтегруємо 
.
– загальний розв’язок даного рівняння.
Для розв’язування рівняння в) треба ввести допоміжну функцію
.
Враховуючи, що залежить від і використовуючи правило диференціювання складної функції, одержимо, що
.
Тому рівняння в) прийме вигляд 
, тобто буде рівнянням першого порядку відносно допоміжної функції 
.
Після розв’язування цього рівняння треба повернутися до шуканої функції шляхом підстановки замість 
її значення 
і розв’язати одержане диференціальне рівняння першого порядку відносно .
Приклад 4.Знайти загальний розв’язок рівняння
.
Задане диференціальне рівняння не другого порядку, яке явно не містить аргументу . Тому використаємо допоміжну функцію.
та 
.
Після підстановки 
та 
в задане диференціальне рівняння одержимо диференціальне першого порядку
;
– рівняння з відокремленими змінними, інтегруємо
;
.
Підставимо замість її значення і одержимо диференціальне першого порядку відносно шуканої функції .
, інтегруємо і маємо 
; 
– довільні сталі.
Звідси, 
– загальний розв’язок рівняння.