Тема 5, 6. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Задача Коші.
Для диференціальних рівнянь другого порядку, як і для рівнянь першого порядку, розглядається задача Коші або задача з початковими умовами. Для рівняння (1) ця задача ставиться так: серед усіх розв’язків рівняння (1) знайти такий розв’язок 
який при 
задовольняє такі умови:
або ( 6 )
де 
- довільні наперед задані дійсні числа.
Умови ( 6 ) називають початковими умовами рівняння ( 1 ). Зокрема, рівняння другого порядку
початкові умови при х= х0 мають вигляд
Існування і єдність розв’язку задачі Коші визначають такою теоремою Коші.
Теорема 2.Якщо функція 
і її похідні по аргументам 
то для будь – якої точки 
існує єдиний розв’язок 
рівняння (1), який задовольняє початкові умови (6).
Приклад .
Знайти розв’язок задачі Коші:
а) 
;
б) 
.
Розв’язання:
а) Складемо характеристичне рівняння 
і знайдемо його корені 
За формулою ( 3 ) шуканий розв’язок має вигляд:
Знайдемо 
та 
, використовуючи початкові умови:
Знайдемо 
: 
.
Отже, 
– розв’язок рівняння , який задовольняє дані початкові умови.
б) Складемо характеристичне рівняння 
і знайдемо його корені 
За формулою ( 4 ) шуканий розв’язок має вигляд:
Знайдемо та , використовуючи початкові умови:
Знайдемо : 
;
.
Отже, 
– розв’язок рівняння , який задовольняє дані початкові умови.
ПИТАННЯ ТА ЗАВДАННЯ ДЛЯ
САМОСТІЙНОГО
ОПРАЦЮВАННЯ МАТЕРІАЛУ
Тема 1. Рівняння Бернуллі.
Завдання для самоконтролю:
1.1. Розв’язати рівняння Бернуллі 
.
Питання для самоконтролю:
1. Загальний вигляд рівняння Бернуллі.
2. Структура розв’язку рівняння Бернуллі.
Тема 2, 3. Розв’язання диференціальних рівнянь, що дозволяють знизити порядок.
Завдання для самоконтролю:
3.1. Розв’язати рівняння 
.
3.2. Розв’язати рівняння 
.
3.3. Розв’язати рівняння 
.
Питання для самоконтролю:
1. Види диференціальних рівнянь, що дозволяють знизити порядок.
2. Способи розв’язання диференціальних рівнянь, що дозволяють знизити порядок, в залежності від виду.
Тема 4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.
Завдання для самоконтролю:
4.1. Розв’язати рівняння 
.
4.2. Розв’язати рівняння 
.
4.3. Розв’язати рівняння 
.
Питання для самоконтролю:
1. Що називається характеристичним рівнянням.
2. Загальний розв’язок однорідні диференціальні рівняння другого порядку, у випадку дійсних та різних коренів характеристичного рівняння.
3. Загальний розв’язок однорідні диференціальні рівняння другого порядку, у випадку дійсних рівних коренів характеристичного рівняння.
4. Загальний розв’язок однорідні диференціальні рівняння другого порядку, у випадку комплексно спряжених коренів характеристичного рівняння.