Тема 4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.
Основною задачею в диференціальних рівняннях є знаходження їхнього загального розв’язку. Ця задача найповніше вивчена для лінійних рівнянь із сталими коефіцієнтами.
Лінійні однорідні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами.
Розглянемо лінійне однорідне рівняння другого порядку
( 1 )
де 
дійсні числа.
Ейлер запропонував шукати частинні розв’язки цього рівняння у вигляді 
, де 
– стала (дійсна чи комплексна), яку треба знайти. Підставивши функцію 
в рівняння 1, дістанемо
Оскільки 
то
( 2 )
Отже, якщо 
буде коренем рівняння 2, то функція 
буде розв’язком рівняння 1. Квадратне рівняння 2 називається характеристичним рівнянням диференціального рівняння 1.
Позначимо корені характеристичного рівняння через 
можливі три випадки:
І. 
і 
дійсні і різні числа 
ІІ. і 
комплексні числа 
;
ІІІ. і 
- дійсні і рівні числа 
.
Розглянемо кожен випадок окремо.
І.Корені характеристичного рівняння дійсні і різні: 
. У цьому випадку частинними розв’язками рівняння 1 є функції 
Ці розв’язки лінійно незалежні, тому що при
.
Загальний розв’язок рівняння 1 знаходять за формулою 
. ( 3 )
ІІ.Корені характеристичного рівняння комплексно – спряжені:
Підставивши значення 
та 
у формулу 
,знайдемо розв’язки
За формулою Ейлера
маємо
Зауважимо ,що коли функція 
є розв’язком рівняння 1, то розв’язками будуть також функції 
та 
. Дійсно, підставивши функції 
в рівняння 1, дістанемо:
або
Остання тотожність можлива, коли вирази в дужках дорівнюють нулю. Це означає , що функції 
та 
- розв’язки рівняння 1. Згідно з цим зауваженням частинними розв’язками рівняння 1 є функції 
.
Ці розв’язки лінійно незалежні, оскільки
тому загальний розв’язок рівняння 1 запишеться у вигляді
( 4 )
ІІІ.Корені характеристичного рівняння дійсні і рівні: 
За формулою 
дістанемо один з розв’язків : 
.
Другий розв’язок шукатимемо у вигляді 
де 
невідома функція від 
. Знайшовши 
та підставивши їх у рівняння 1 дістанемо:
або
Оскільки 
- корінь рівняння 2, то 
і за теоремою Вієта 
, тому 
і 
звідки 
де 
довільні сталі. Поклавши 
(нас цікавить розв’язок 
), знайдемо другий частинний розв’язок рівняння 1:
Розв’язки 
- лінійно незалежні, тому загальний розв’язок рівняння 1 має вигляд:
. ( 5 )
Приклад 1.
Розв’язати рівняння: 
.
Розв’язання :
Складемо характеристичне рівняння 
і знайдемо його корені 
за формулою 
шуканий розв’язок має вигляд:
.
Приклад 2.
Розв’язати рівняння: 
Розв’язання:
Характеристичне рівняння 
має комплексні корені 
Загальний розв’язок дістанемо за формулою ( 4 ):
.
Приклад 3.
Розв’язати рівняння: y²+2y¢+y=0.
Розв’язання:
Будуємо характеристичне рівняння 
, звідки 
.
Отже, загальний розв’язок: 
.