Тема 3, 4. Диференціювання неявних та параметрично заданих функцій
Похідна неявної функції.
Нехай рівняння F (x; y) = 0 визначає у як неявну функцію від х. Надалі будемо вважати, що ця функція — диференційована.
Потрібно продиференціювати за змінною х обидві частини рівняння F (x; y) = 0, дістанемо рівняння першого степеня відносно . З цього рівняння легко знайти
, тобто похідну неявної функції.
Приклад 1. Знайти з рівняння
.
l Оскільки у є функцією від х, то у2 розглядатимемо як складну функцію від х, тобто .
Диференціюємо по х обидві частини заданого рівняння, дістанемо . Звідси
.
Приклад 2.
Диференціювання функцій, заданих у параметричній формі.
Нехай функція y від x задана у параметричній формі, тобто
Похідну можна знайти, не знаючи явної залежності y від x.
Достатньо врахувати, що
1) Похідна є частка від ділення двох диференціалів;
2) Форма диференціалів 1-го порядку не залежить від вибору аргументу.
Одержимо ;
.
Відношення цих величин дає : =
Для похідної запишемо
=
Приклад.
Тема 5. Геометричний та фізичний зміст похідної
Геометричний зміст похідної
Дамо загальне означення дотичної. Розглянемо криву L і на ній точки M та M1 .
Пряму , що проходить через ці точки називають січною. Нехай точка
, рухаючись вздовж кривої, наближається до точки М. Тоді січна повертатиметься навколо точки М, а довжина відрізка
прямуватиме до нуля.
Якщо при цьому і величина кута прямує до нуля, то пряму МТ називають граничним положенням січної
, тобто дотичної до кривої в точці М.
З означення випливає, що існування дотичної не залежить, з якого боку точка наближається до точки М.
Якщо січна наближається до різних прямих, або взагалі не наближається ні до якої прямої, то М – точка ізлому і вважається, що в точці М дотичної немає.
М
Нехай крива задана рівнянням y=f(x) і має в точці М(х,у) не вертикальну дотичну. Розглянемо задачу про знаходження кутового коефіцієнта цієї дотичної.
Y
y+Δy
Δy
![]() |
y M A
![]() |
y=f(x)
![]() | |||||||
![]() | |||||||
![]() | |||||||
![]() | |||||||
![]() | |||||||
![]() | |||||||
![]() | |||||||
![]() | |||||||
α
T 0 x
x Δx x+Δx
Надамо аргументу х приросту Δх: тоді значенню (х+Δх) відповідатимуть значення функції y+Δy = f(x+Δx) і точка (х+Δх; y+Δx) на кривій.
Проведемо січну і позначимо через φ кут, утворений цією січною з додатним напрямом осі Ох. Кутовий коефіцієнт січної дорівнює
Якщо , то точка
прямує до точки М вздовж кривої, а січна
, повертаючись навколо точки М, переходить у дотичну МТ. Кут φ при цьому прямує до деякого граничного значення α.
Похідна , знайдена від функції y=f(x) та обчислена у точці
, тобто
є кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції y=f(x) у точці з абсцисою
. Це геометричний зміст похідної.
Рівняння дотичної, яка проходить через точки буде:
Фізичний зміст похідної
Нехай s = s (t) – закон прямолінійного руху. Тоді висловлює миттєву швидкість руху в момент часу t0. Друга похідна
висловлює миттєве прискорення в момент часу t 0.
Взагалі похідна функції y = f (x) в точці x 0 висловлює швидкість зміни функції в точці x0 . Тобто швидкість протікання процесу, описаного залежністю y = f (x).
Тема 6. Асимптоти.