Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування.
Означення 1. Дріб називається раціональним, якщо його чисельник та знаменник є многочленами, тобто дріб має вигляд
де аі та bk — коефіцієнти многочленів, і = 0, 1, ..., n;
k = 0, 1, 2, ..., m.
Раціональний дріб називається правильним, якщо найвищий показник степеня чисельника n менше відповідного степеня m знаменника. Дріб називається неправильним, якщо 
.
Якщо 
дріб неправильний, тоді треба поділити чисельник на знаменник (за правилом ділення многочленів) і одержати заданий дріб у вигляді суми многочлена та правильного раціонального дробу, тобто
Означення 2. Найпростішими раціональними дробами І, II, III та IV типу називають правильні дроби вигляду:
I. 
II. 
III. 
IV. 
Умова 
означає, що квадратний тричлен 
не має дійсних коренів і на множники не розкладається. Те саме можна сказати і про квадратний тричлен 
.
Розглянемо інтегрування найпростіших раціональних дробів. Інтеграли від найпростіших раціональних дробів 1-го та ІІ-го типів знаходять методом безпосереднього інтегрування:
І. 
ІІ. 
При інтегруванні найпростішого дробу ІІІ-го типу треба спочатку в знаменнику виділити повний квадрат, а потім той вираз, що під квадратом, замінити через нову змінну.
ІІІ. 
Повертаючись до змінної х, та враховуючи, що 
або 
одержимо:
Інтеграл від найпростішого дробу типу IV шляхом повторного інтегрування частинами зводять до інтеграла під найпростішого дробу типу III.
Приклад. Обчислити інтеграл.
а) 
б) 
в) 
Розв'язок:
а) Оскільки степінь чисельника менший за степінь знаменника, то підінтегральна функція – правильний дріб. Знаменник
можна розкласти на множники 
таким чином дріб розкладається на суму доданків першого типу (І):
Невідомі коефіцієнти 
знаходимо методом невизначених коефіцієнтів. Для цього праву частину отриманої тільки що нерівності зводимо до спільного знаменника:
Прирівнюємо чисельники для знаходження невідомих коефіцієнтів
Ця рівність виконується коли коефіцієнти при однакових степенях 
рівні між собою. З цієї у мови отримуємо систему лінійних рівнянь для визначення невідомих
З цієї системи знаходимо невідомі
Наша підінтегральна функція набуде вигляду
Інтегруючи останню рівність отримаємо
б) Підінтегральна функція
є правильним дробом, знаменник якого має дійсні корені. Такий дріб розкладається на суму найпростіших дробів І-го та ІІ-го типів
Визначимо невідомі коефіцієнти 
, для цього праву частину зведемо до спільного знаменника.
Розкриваємо дужки і прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях в чисельниках. Отримаємо наступну систему лінійних рівнянь
Є інший спосіб отримання системи рівнянь для визначення невідомих. Чисельники справа і зліва повинні бути рівні для всіх 
. Ця особливість дещо спрощує розв'язування системи рівнянь. Як правило, за точки в першу чергу беруть корені рівняння та 0. В нашому випаду це були б значення 
. Нуль вибирають за рахунок простоти обчислень.
Розв'язавши отриману вище систему рівнянь, отримаємо наступні значення невідомих:
Інтегруємо підінтегральну функцію, врахувавши знайдені константи
б) Підінтегральна функція є правильним дробом. Знаменник містить квадратний тричлен множники. Даний дріб за правилами розкладається на суму дробів І-го та ІІІ-го типів:
Звівши до спільного знаменника, матимемо:
Можемо прирівняти коефіцієнти при однакових степенях, але поступимо інакше, щоб навчитися використовувати іншу методику. Тож підставимо корінь 
в ліву і праву частину рівності, отримаємо
Щоб позбутися невідомої 
підставимо 
Для знаходження невідомої 
випишемо постійні при
В такий спосіб, не виписуючи систем лінійних рівнянь і не розв'язуючи їх, можна досить швидко знайти невідомі.
Підставивши знайдені значення, отримаємо інтеграл
Перший доданок інтегруємо
а до другого застосовуємо заміну
та зводимо до суми двох
Підсумувавши отримані інтеграли, остаточно отримаємо розв'язок:
