Тема 11. Найбільше та найменше значення функції в замкненій області.
Нехай функція визначена і неперервна в обмеженій замкнутій області
. Тоді вона досягає в деяких точках свого найбільшого
і найменшого
значень (т.3. глобальний екстремум). Ці значення досягаються функцією в точках, розташованих усередині області, або в точках, що лежать на межі області.
Правило знаходження найбільшого і найменшого значень диференційованої в області функції
полягає в наступному:
1. Знайти всі критичні точки функції, що належать
і обчислити значення функції в них;
2. Знайти найбільше і найменше значення функції на кінцях області;
3. Порівняти всі знайдені значення функції і вибрати з них найбільше і найменше
.
Приклад . Знайти щонайбільше і якнайменше значення функції в замкнутій області, обмеженій лініями:
,
,
,
(див. рис.)
◄ Тут
1. Знаходимо всі критичні точки:
Розв’язком системи є точки
Жодна із знайдених точок не належить області .
2. Досліджуємо функцію на межі області, що складається з ділянок
(рис.).
На ділянці :
,
, де
,
,
. Значення функції
,
.
На ділянці :
,
, де
,
,
. Значення функції
,
.
На ділянці :
,
;
;
. Значення функції
На ділянці :
,
Значення функції
3. Порівнюючи отримані результати, маємо: а
►
Тема 12. Розв’язування вправ на дослідження функції двох змінних на екстремум.
Поняття максимуму, мінімуму, екстремуму функції двох змінних аналогічні відповідним поняттям функції однієї незалежної змінної.
Приклад .Знайти екстремум функції .
◄ Тут Точки, в яких частинні похідні не існують, відсутні.
Знайдемо стаціонарні точки, розв’язуючи систему рівнянь:
Звідси одержуємо точки і
Знаходимо частинні похідні другого порядку даної функції:
В точці маємо:
, звідси
тобто
Оскільки , то в точці функція має локальний максимум
В точці :
і, значить
. Проведемо додаткове дослідження. Значення функції
в точці
рівне нулю:
. Можна помітити, що
при
,
при
,
. Значить, в околі точки
функція
приймає як негативні, так і позитивні значення. Отже в точці
функція екстремуму не має. ►
ПИТАННЯ ТА ЗАВДАННЯ ДЛЯ
САМОСТІЙНОГО
ОПРАЦЮВАННЯ МАТЕРІАЛУ
Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій.
Завдання для самоконтролю:
1.1. Знайти границю функції: а) ; б)
; в)
; г)
; д)
.
Питання для самоконтролю:
1. Поняття границі функції в точці.
2. Основні теореми про границі.
3. Перша важлива границя.
4. Друга важлива границя.
Тема 2. Правило Лопіталя.
Завдання для самоконтролю:
2.1. Знайти границі, використовуючи правило Лопіталя: а) ;
б) ; в)
; г)
.
Питання для самоконтролю:
1. Правило Лопіталя та його наслідок .
2. Розкриття невизначеностей вигляду: