Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.
1. Сумма (разность) конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.
2. Произведение бесконечно малой функции при на функцию, ограниченную в окрестности точки
, есть функция бесконечно малая.
3. Сумма бесконечно больших функций одного знака является бесконечно большой того же знака.
4. Произведение бесконечно большой при функции на функцию, имеющую предел при
, не равный нулю, есть бесконечно большая.
5. Если функция является бесконечно малой при
, то
- бесконечно большая, и обратно, если функция
является бесконечно большой при
, то
- бесконечно малая при
,то есть
(символическая запись
).
(символическая запись
);
Поведение же функции, являющейся отношением бесконечно малых (неопределенность ), бесконечно больших
при
,суммой бесконечно больших разных знаков
, произведением бесконечно малой на бесконечно большую
требует исследования. Нахождение предела в случае неопределенности называется раскрытием неопределенности.
Замечательные пределы.
Можно доказать следующие утверждения:
1)
2) . Возможно:
и
.
Они называются первым и вторым замечательными пределами.
Справедливы следствия:
1) ;
2)
С помощью замечательных пределов расширяется возможность вычислять пределы функций.
Приведем некоторые приемы вычисления пределов, излагая их на конкретных примерах.
Пример.Найти пределы (не применяя правило Лопиталя)
1) ![]() | 2) ![]() | 3) ![]() |
4) ![]() | 5) ![]() | 6) ![]() |
7) ![]() |
Решение:
1)
Так как пределы числителя и знаменателя при равны нулю, то мы имеем неопределенность вида
. Эту неопределенность можно раскрыть, разложив на множители квадратные трехчлены в числителе и знаменателе и сократив далее на общий множитель
:
2)
Здесь мы имеем неопределенность вида . Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю:
3)
Числитель и знаменатель дроби - бесконечно большие функции, поэтому здесь имеет место неопределенность вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность поделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной х в данной дроби:
.
4) .
Применяя первый замечательный предел , получим
.
5)
Используя формулу понижения степени , преобразуем числитель дроби, затем сведем предел к первому замечательному пределу
,
.
6)
Имеем неопределенность вида . Преобразуем функцию так, чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом
, или следствием
.
7)
Преобразуем функцию так, чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом:
Непрерывность функции.
Функция называется непрерывной в точке
, если
.
Ищем условия непрерывности в точке .
Функция непрерывна в точке , если
1. Существует предел
2. Существует значение функции в точке (
)
3. Этот предел и значение функции совпадают, то есть .
Условие 3 можно переписать в виде: .
Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.
Если правый (левый) предел совпадает со значением функции, то функция называется непрерывной справа (слева) в рассматриваемой точке, то есть
Точка называется точкой устранимого разрыва, если существуют конечные
,
и выполняется условие
.
Этот разрыв можно устранить, изменив значение функции всего в одной точке, а именно, вместо в точке
взять значение
.
Но это будет уже другая функция, которая будет отличаться от функции всего в одной точке (при
).
Точка называется точкой разрыва I рода с конечным скачком, если существуют конечные
и
, но
. При этом возможна непрерывность функции, с одной стороны.
Точка называется точкой разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует.
Пример. Функция задана различными аналитическими выражениями в различных областях изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить график функции.
Решение.Функции ,
,
являются непрерывными на
. Значит, функция
может иметь разрыв только в точке перехода от одного аналитического выражения к другому. Такими точками являются точки
и
. Проверим условие непрерывности для точек
и
.
1. Найдем пределы слева и справа в точке и значение функции в этой точке.
.
Вывод: так как , то функция в точке
является непрерывной.
2. Найдем пределы слева и справа в точке и значение функции в этой точке.
.
Вывод: так как , то функция в точке
терпит разрыв. Поскольку односторонние пределы являются конечными, то
точкой разрыва I рода с конечным скачком (слева непрерывна, так как
).
Скачок функции .
3. Строим график функции