Исследование функций и построение графиков. Исследование функций можно проводить по следующей схеме:
Исследование функций можно проводить по следующей схеме:
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность и нечетность.
3. Найти асимптоты графика функции.
4. Найти интервалы возрастания и убывания функции, её экстремумы.
5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.
6. Найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это возможно).
7. Построить график.
Иногда порядок исследования целесообразно выбирать, исходя из конкретных особенностей данной функции.
Пример 1. Построить график функции
Решение.
1. Область определения функции .
2. Функция ни четная, ни нечетная.
3. Выясним вопрос о существовании асимптот. Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва .
Так как
,
то прямая является вертикальной асимптотой.
Для нахождения наклонных асимптот, вычисляем:
Таким образом, прямая наклонная асимптота. Горизонтальных асимптот нет
4. Вычислим производную
Очевидно, что при
и
. Кроме того,
не существует при
, но эта точка не принадлежит области определения функции, следовательно, точка
не может быть точкой экстремума.
Методом пробных точек определяем знак производной в каждом из интервалов: .
Следовательно, функция возрастает на интервалах и убывает на интервале
.
В точке функция имеет максимум. Так как при переходе через критическую точку
производная знака не меняет, то в этой точке экстремума нет.
Имеем, .
5. Находим вторую производную
.
при
и
не существует при
.
Определяем знак второй производной в каждом из интервалов
.
График функции выпуклый на интервалах и вогнутый на интервале
.
Точка с абсциссой - точка перегиба, так как при переходе через нее вторая производная меняет знак с минуса на плюс, а график функции изменяет выпуклость на вогнутость.
Имеем , следовательно, точка
является точкой перегиба.
6. Для нахождения точек пересечения графика функции с осями координат полагаем , получаем
. Затем полагаем
, откуда
или
.
Последнее равенство возможно при , т.е. при
. Других действительных значений, при которых
нет, так как для равенства
имеем дискриминант
.
Таким образом, имеем две точки пересечения графика функции с осями координат: и
.
7. Построим график данной функции.
РАЗДЕЛ 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
Неопределенный интеграл.
Пусть функция определена на некотором промежутке
. Тогда функция
называется первообразной для функции
на промежутке
, если
для всех
.
Если функция является первообразной функции
на промежутке
, то множество всех первообразных для
задается формулой
, где
- некоторое постоянное число.
Совокупность всех первообразных для функции , определенных на некотором промежутке
, называется неопределенным интегралом от функции
на этом промежутке и обозначается символом
.
Если является первообразной для функции
на промежутке Х, то
Функция называется подынтегральной функцией,
- подынтегральным выражением,
– переменной интегрирования, символ
- знаком неопределенного интеграла, С – постоянной интегрирования.
Назовем график какой-либо первообразной функции
интегральной кривой.
Тогда геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых, каждая из которых получается из любой другой кривой параллельным переносом вдоль оси Оу.
![]() |