Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты.
График функции 
называется выпуклым (вогнутым) на интервале 
, если он расположен ниже (выше) касательной, проведенной в любой точке кривой, соответствующей этому интервалу (рис .1).
рис. 1 рис. 2
Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции.
Пусть дважды дифференцируема на . Если 
на интервале , то график функции является выпуклым (вогнутым) на этом интервале.
Точка 
графика функции , отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба (рис. 2).
Необходимое условие точки перегиба.
Если 
- абсцисса точки перегиба графика функции , то вторая производная в этой точке равна нулю или не существует.
Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, называются критическими точками II-го рода.
Достаточное условие точки перегиба.
Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности критической точки . Тогда если в пределах указанной окрестности 
имеет разные знаки слева и справа от точки , то график функции имеет перегиб в точке .
Другими словами, если при переходе через критическую точку вторая производная меняет знак, то точка есть точка перегиба.
Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении её от начала координат.
1. Прямая 
является вертикальной асимптотой кривой , если 
или 
.
2. Прямая 
является наклонной асимптотой кривой тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы
, 
или
, 
.
Частным случаем наклонной асимптоты при 
и 
является горизонтальная асимптота. Существование горизонтальной асимптоты выявляется проще, чем существование наклонной асимптоты. Дадим специальное правило нахождения асимптоты в этом случае.
3. Прямая 
является горизонтальной асимптотой кривой , если существует конечный предел 
или 
Пример 1. Найти точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости функции 
Решение. Область определения функции – вся числовая прямая.
Находим производные:
Приравняв к нулю вторую производную, получим критические точки второго рода:
так как 
для любых 
.
Отметив точку 
на вспомогательном рисунке и исследовав знак второй производной в её окрестности, получаем слева от точки 
(кривая выпуклая), а справа - 
(кривая вогнутая). Таким образом, при переходе через точку 
вторая производная меняет знак, следовательно точка с абсциссой является точкой перегиба графика рассматриваемой функции. Ее координаты 
.
Таким образом, на интервале 
кривая выпуклая, а на интервале 
- вогнутая, - точка перегиба.
Пример2. Найти асимптоты кривой 
.
Решение.
Область определения функции 
.
Ищем вертикальные асимптоты:
Следовательно, прямая 
, т.е. ось 
есть вертикальная асимптота (и слева, и справа).
Горизонтальных асимптот нет, так как
т.е. оба предела не существуют (при вычислении пределов использовалось правило Лопиталя).
Ищем наклонные асимптоты:
т.е. 
т.е. 
.
Следовательно, прямая 
есть наклонная асимптота и влево, и вправо данной кривой (рис. 3).
Рис. 3