Основные подходы к построению математических моделей систем
Математическая схема – это звено при переходе от содержательного к формализованному описанию процесса функционирования системы с учётом воздействия внешней среды, т.е. имеет место цепочка: описательная модель – математическая схема – имитационная модель.
Каждая конкретная система S характеризуется набором свойств, под которыми понимаются величины, отображающие поведение моделируемого объекта (реальной системы) и учитываются условия её функционирования во взаимодействии с внешней средой (системой) Е.
Полнота моделирования регулируется, в основном, выбором границ «Система S – среда E».
Математическую модель (ММ) объекта моделирования, т.е. системы S можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих в общем случае следующие подмножества:
- совокупность входных воздействий на S 
;
- совокупность воздействий внешней среды 
;
- совокупность внутренних (собственных) параметров системы 
;
- совокупность выходных характеристик системы 
.
В перечисленных множествах можно выделить управляемые и неуправляемые величины. В общем случае непересекающиеся множества X, V, H, Y содержат как детерминированные так и стохастические составляющие. Входные воздействия E и внутренние параметры S являются независимыми (экзогенными) переменными, 
. Выходные характеристики – зависимые (эндогенные) переменные 
. Процесс функционирования S описывается оператором FS:
, (3.1)
где – выходная траектория, FS – закон функционирования S. FS может быть функция, функционал, логические условия, алгоритм, таблица или словесное описание правил.
Алгоритм функционирования AS – метод получения выходных характеристик с учётом входных воздействий . Очевидно один и тот же FS может быть реализован различными способами, т.е. с помощью множества различных AS.
Соотношение (3.1) является математическим описанием поведения объекта S моделирования во времени t, т.е. отражает его динамические свойства. (3.1) – это динамическая модель системы S. Для статических условий ММ есть отображения X, V, H в Y:
. (3.2)
Соотношения (3.1), (3.2) могут быть заданы формулами, таблицами и т.д. Также соотношения в ряде случаев могут быть получены через свойства системы в конкретные моменты времени, называемые состояниями.
Состояния системы S характеризуются векторами:
и 
, где 
в момент 
; 
в момент 
и т.д., k = 1, …, nZ.
Z1(t), Z2(t), …, Zk(t) – это координаты точки в k-мерном фазовом пространстве. Каждой реализации процесса будет соответствовать некоторая фазовая траектория.
Совокупность всех возможных значений состояний 
называется пространством состояний объекта моделирования Z, причём zk Î Z.
Состояние системы S в интервале времени t0 < t £ T полностью определяется начальными условиями 
, где 
, …; входными воздействиями 
, внутренними параметрами 
и воздействиями внешней среды 
, которые имели место за промежуток времени t* – t0 c помощью 2-х векторных уравнений:
(3.3)
(3.4)
иначе: 
(3.5)
Время в модели S может рассматриваться на интервале моделирования (t0, T) как непрерывное, так и дискретное, т.е. квантованное на отрезке длиной Dt.
Таким образом, под ММ объекта понимаем конечное множество переменных 
вместе с математическими связями между ними и характеристиками 
.
Моделирование называется детерминированным, если операторы F, Ф – детерминированные. Детерминированное моделирование – частный случай стохастического моделирования. В практике моделирования объектов в области системного анализа на первичных этапах исследования рациональнее использовать типовые математические схемы: дифференциальные уравнения, конечные и вероятностные автоматы, СМО и т.д. Не обладая такой степенью общности, как модели (3.3), (3.4), типовые математические схемы имеют преимущество простоты и наглядности, но при существенном сужении возможности применения.
В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайный факт не учитывается, для представления систем, функционирующих в непрерывном времени, используются дифференциальные, интегральные и другие уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретном времени – конечные автоматы и конечно-разностные схемы.
В стохастических моделях (при учёте случайного фактора) для представления систем с дискретным временем используются вероятностные автоматы, а для представления систем с непрерывным временем – системы массового обслуживания (СМО). Большое практическое значение при исследовании сложных индивидуальных управленческих систем, к которым относятся АСУ, имеют так называемые агрегативные модели.
Aгрегативные модели (системы) позволяют описать широкий круг объектов исследования с отображением системного характера этих объектов. Именно при агрегативном описании сложный объект расчленяется на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивая взаимодействие частей.