Векторы. Координаты вектора
Векторная величина (вектор) – величина, которая характеризуется не только значением, но и направлением (сила, скорость, ускорение и др.). Скалярная величина (скаляр) – величина, не обладающая направлением (масса, электрический заряд, теплоемкость и др.).
Геометрически вектор представляется направленным отрезком прямой линии (рис. 4.1). Вектор обозначается как
или
(т.
– начало, т.
– конец вектора). Длина (модуль, норма, абсолютная величина) вектора обозначается
или
.
Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной и той же прямой). На рис. 4.2 векторы
,
и
– коллинеарные;
и
– однонаправлены,
и
– противоположно направлены.
Компланарными векторами называются векторы, лежащие в параллельных плоскостях. Если компланарные векторы привести (параллельным перемещением) к общему началу, то они будут лежать в одной плоскости.
Нулевой вектор (нуль-вектор) – вектор, у которого конец и начало совпадают (его модуль
).
Вектор, модуль которого равен 1, называется единичным вектором или ортом.
Два вектора и
равны
=
,
если они одинаково направлены и имеют один и тот же модуль ( =
).
Векторы, имеющие равные модули и противоположно направленные, называются противоположными векторами. Вектор, противоположный вектору , обозначается через –
(
=
). Из определения противоположного вектора следует –(–
)=
.
|


Проекция точки на ось
есть основание
перпендикуляра
(точка
), опущенного из т.
на эту ось (рис. 4.4).
Компонентой (составляющей) вектора на ось
называется вектор
, где
– проекция начала, а
– конца на эту ось (рис. 4.5). Компоненту вектора называют также геометрической проекцией вектора на ось (обозначают
). Если ось
задана вектором
, то вектор
называется также компонентой (геометрической проекцией
) вектора
на направление вектора
.
Алгебраической проекцией (просто проекцией) вектора
на ось
(или на направление вектора
) называется длина вектора
(см. рис. 4.5), взятая со знаком “+”, если вектор
имеет то же направление, что и ось
, или “–“, если ― противоположное направление. Проекция обозначается
или
. Для случая, представленного на рис. 4.5, проекция вектора
на ось
будет иметь отрицательный знак.
Декартова прямоугольная система координатв пространстве (3-х мерном) представляет собой три взаимно перпендикулярных оси
,
и
, пересекающихся в начале координат
, при заданной единице масштаба для всех трех осей (рис. 4.6). Название осей:
– ось абсцисс,
– ось ординат,
– ось аппликат.
Декартовы координаты точки есть расстояния ее проекций
(рис. 4.6) на координатные оси от начала координат, взятые со знаком “+”, если проекция лежит по отношению к началу в положительном направлении оси, и со знаком “–“, если ― в отрицательном. Обозначение координат точки:
.
Единичные векторы (орты)
,
,
осей
,
и
соответственно (рис. 4.7) образуют систему базисных векторов (базис (ортонормированный)). Эти единичные векторы попарно перпендикулярны друг другу и носят название базисных векторов.
Координаты вектора есть его алгебраические проекции на оси координат. Если начало вектора совмещено с началом координат (рис. 4.7), то координатами вектора будут координаты его конца. Запись координат вектора:
.
Если точка
является началом вектора
, а точка
― его концом (рис. 4.8), то
, (4.1)
а его длина (модуль)
. (4.2)
Направление вектора можно задать углами
,
,
, образуемые положительными направлениями координатных осей
,
и
с вектором
(рис. 4.9). Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора:
,
, (4.3)
.
Для этих косинусов справедливо равенство:
. (4.4)
Пример. Найти длину и направляющие косинусы вектора, проведенного из точки в точку
.
◄ По формуле (4.1) находим координаты вектора: . Согласно (4.2) длина вектора
. По формулам (4.3) находим направляющие косинусы:
,
,
. Проводим проверку на основе равенства (4.4):
►