Движение жидкости. Уравнение Бернулли
Чтобы описать движение жидкости, можно поступить двумя способами. Можно проследить за движением каждой индивидуальной частицы жидкости, то есть указать ее положение и скорость в каждый момент времени. То есть мы будем знать траектории всех частиц. Но можно поступить иначе. Можно проследить, что происходит с течением времени в каждой точке пространства. То есть, можно указать величины и направления скоростей различных частиц жидкости, которые в различные моменты времени проходят через одну и ту же точку пространства. Если рассматривать все возможные точки пространства в какой-то фиксированный момент времени, то при втором способе описания мы получим мгновенную картину распределения скоростей жидкости, так называемое поле скоростей. В каждой точке пространства будет указан вектор скорости той частицы, которая проходит через эту точку в данный момент времени. Можно провести линию, касательная к которой указывает направление скорости частицы жидкости, проходящей в рассматриваемый момент времени через точку касания. Такая линия называется линией тока.
Если поле скоростей и соответствующие ему линии тока не меняются с течением времени, то движение жидкости называется стационарным или установившимся. В противном случае движение называет нестационарным. В первом случае скорость будет функцией только координат, v(r), во втором – функцией координат и времени, v(r, t).2
В случае нестационарного движения линии тока вообще говоря не совпадают траекториями частиц жидкости. траектория указывает путь одной и той же частицы за время ее движения, линия же тока характеризует направление движения бесконечного множества частиц, которые находятся на этой линии в рассматриваемый момент времени. Только при стационарном движении линии тока совпадаю с траекториями частиц. Для 
доказательства возьмем траекторию какой-нибудь произвольной частицы.
Пусть A(t1) – положение этой частицы в момент времени t1. Возьмем другую частицу B(t2), которая в момент времени t2 занимает то же положение, что и частица A в момент времени t1. Так как движение стационарно, то есть поле скоростей одинаково в каждый момент времени, то через точку A(t1) частица A пройдет с той же скоростью, что и частица B пройдет через эту же точку в момент времени t2. Значит, скорость частицы B в рассматриваемой точке направлена по касательной к траектории частицы A. Так как момент времени t2 можно выбрать произвольно, отсюда следует, что траектория частицы A является также линией тока.
Если взять некоторый произвольный замкнутый контур С и через каждую его точку в один и тот же момент времени провести линию тока, то о 
ни сформируют так называемую трубку тока. Так как скорости частиц жидкости направлены по касательной к линии тока, то при течении жидкость не может пересекать боковую поверхность трубки тока.
Если поперечное сечение трубки тока бесконечно мало, то можно считать, что скорость жидкости одна и та же во всех точках одного и того же поперечного сечения и направлена вдоль оси трубки тока. Масса жидкости, протекающая за время dt через поперечное сечение трубки тока, определяется соотношением
.
где S – площадь нормального поперечного сечения трубки.
В случае стационарного течения масса dm будет одинаковой для всех сечений трубки тока в силу закона сохранения массы или закона ненакопления вещества. Если взять два сечения, площади которых равны S1 и S2, то можно записать
.
Если бы это равенство не соблюдалось, то масса жидкости между этими сечениями изменялась бы со временем. А это противоречит закону сохранения массы и условию стационарности движения.
Если жидкость несжимаема, то плотности в обоих сечениях одинаковы, то найденное соотношение принимает вид
,
или 
.
Такое соотношение справедливо не только для трубки тока, но и для стационарного течения так называемых идеальных жидкостей (жидкостей, в которых не возникает внутренних сил трения) по трубам переменного сечения.
Оно называется условием неразрывности потока: при установившемся течении несжимаемой жидкости через любое сечение ее потока за равные промежутки времени протекает одинаковое количество жидкости.
Из этого соотношения видно, что скорость жидкости в одной и той же трубке тока тем больше, чем меньше ее поперечное сечение.
Уравнение Бернулли.
Изучение движения реальных жидкостей и газов, вообще говоря, представляет собой довольно сложную задачу. Для ее упрощения сначала полностью пренебрегают силами внутреннего трения, считая жидкости идеальными.
Рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости в каком-либо консервативном силовом поле, например в поле силы тяжести.[1] Применим к этому течению закон сохранения энергии. При этом будем полностью пренебрегать теплообменом, который может происходить между частями жидкости с окружающей средой. Выделим в жидкости бесконечно узкую трубку тока и рассмотрим часть жидкости, занимающую объем MNDC.
Пусть эта часть переместилась в бесконечно близкое положение M1N1D1C1. Вычислим работу А, совершаемую при этом силами давления. Давление, действующее на боковую поверхность трубки тока, перпендикулярно к перемещению и работы не совершает. При перемещении границы MN в положение M1N1 совершается работа A1 = p1S1l1, где l1 = MM1 – величина перемещения. Введя объем ∆1V = S1l1, ее можно представить в виде A1 = p1∆1V или 
, где 
— масса жидкости в объеме MNN1M1. При перемещении границы CD в положение C1D1 жидкость совершает работу против давления Р2 (или давление Р2 совершает над жидкостью отрицательную работу). Для нее, рассуждая аналогично, найдем 
, где 
— масса жидкости в объеме 
. Но если движение стационарно, то масса жидкости в объеме M1N1DC не изменится, а потому из закона сохранения массы получим 
. Опуская индексы у 
, для работы, совершаемой внешним давлением, окончательно находим
Эта работа должна быть равна приращению 
полной энергии выделенной части жидкости. Ввиду стационарности течения энергия жидкости в объеме M1N1DC не изменилась. Поэтому величина 
равна разности энергий массы жидкости 
в положениях CDD1С1 и MNN1M1. Обозначая посредством ε полную энергию, приходящуюся на единицу массы жидкости, находим 
Приравнивая эту величину работе А и сокращая на , получаем
Отсюда следует, что вдоль одной и той же линии тока при стационарном течении идеальной жидкости величина 
остается постоянной:
Это соотношение называется уравнением Даниила Бернулли (1700—1782), который впервые опубликовал его в 1738 году. При выводе уравнения Бернулли мы нигде не использовали предположения о несжимаемости жидкости. Поэтому оно справедливо и для сжимаемых жидкостей. Требуется только, чтобы жидкость была идеальной, а течение – стационарным.
Если жидкость несжимаемая, то вся энергия ε складывается из кинетической энергии единицы массы жидкости 
и ее потенциальной энергии gh в поле тяжести. В этом случае уравнение Бернулли принимает вид
Подчеркнем, что это постоянство этой величины выполняется только вдоль одной и той же линии тока. Вообще говоря, она может меняться при переходе от одной линии тока к другой. Но могут быть и такие случаи, где постоянная Бернулли одна и та же для всего потока жидкости. Рассмотрим один довольно часто встречающийся частный случай. Допустим, что все линии тока начинаются или оканчиваются в такой области, где жидкость практически находится в состоянии покоя. Возьмем одну из точек линии тока в этой области. Тогда в уравнении Бернулли следует считать v = 0 и мы получим
.
Но во всей области, где жидкость покоится, должно выполняться условие 
, так как давление в покоящейся жидкости одинаково (при соответствующем введении начала координат направления оси это представляет собой условие равновесия). Поэтому в рассматриваемом случае постоянная Бернулли для всех линий тока будет одинаковой.
Допустим теперь, что тонкая трубка тока имеет переменное поперечное сечение, а ось ее горизонтальна. (Примером может служить горизонтальная труба переменного сечения, по которой течет жидкость). Тогда h — const, и уравнение Бернулли принимает вид
Отсюда видно, что давление больше там, где меньше скорость v, и наоборот. С другой стороны, согласно соотношению 
, скорость v минимальна там, где максимально сечение трубки. Значит, в широких частях трубки давление максимально, а в узких — минимально. Такой результат является непосредственным следствием второго закона Ньютона. Действительно, когда жидкость из широкой части течет в узкую, то скорость ее возрастает. Значит, ускорение направлено в сторону течения, т.е. на рис. слева направо. Это ускорение сообщается разностью давлений, действующих на рассматриваемую часть жидкости слева и справа. Следовательно, давление слева, т. е. в более широкой части трубки, должно быть больше, чем справа, где трубка уже.
Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих следствия из уравнения Бернулли.
Пульверизатор.
Возьмем трубку с суживающимся наконечником и будем продувать через нее воздух. Давление воздуха в узкой части наконечника и в выходящей из него струе будет меньше атмосферного.
Поднесем теперь струю воздуха к верхнему концу стеклянной трубки, нижний конец которой погружен в воду, а верхний оканчивается узким наконечником (рис. 2.3, а). Вода в стеклянной трубке будет подниматься, разбрызгиваться и увлекаться струей воздуха. На этом принципе основано устройство пульверизатора.
Рис. 2.3.
Если трубка, по которой продувается воздух, не снабжена узким наконечником, а имеет постоянное поперечное сечение (рис. 2.3, б), то поднятие воды и разбрызгивание не происходит. Если, однако, такую трубку поднести вплотную к наконечнику трубки, погруженной в воду, так, чтобы между ними образовался узкий зазор (рис.2.3,в), то вода опять поднимается и разбрызгивается. Зазор между трубками выполняет роль узкого наконечника, понижающего давление воздуха в струе.
Рассмотрим другой пример.
Если два слегка изогнутых листа твердой бумаги подвесить на горизонтальных проволоках (рис. 2.4) и продувать между ними воздух, то они притягиваются друг к другу. Дело в том, что давление воздуха Р между листами в наиболее узком месте
Рис. 2.5.
становится меньше атмосферного Р0, и наружное атмосферное давление прижимает листы друг к другу. Можно также подвесить на небольшом расстоянии друг от друга две стеклянные колбы. При продувании воздуха между ними колбы начинают стучать, сталкиваясь друг с другом. Притяжение такого же типа наблюдается между двумя кораблями, когда они идут параллельным курсом на небольшом расстоянии друг от друга. Это легко объяснить, если перейти в систему отсчета, в которой корабли покоятся, а вода течет между ними. Описанное явление не раз было причиной столкновения судов и приводило к авариям.
3. Формула Торричелли. Кавитация. Форма струи жидкости
Уравнение Бернулли имеет самое широкое применение на практике. В качестве первого примера рассмотрим стационарное истечение идеальной несжимаемой жидкости из сосуда (рис.2.6). Если полагать, что сосуд достаточно велик, а отверстие мало, то можно считать, что при истечении уровень жидкости не изменяется заметно в течение достаточно продолжительного промежутка времени. Пусть на поверхность жидкости в сосуде действует давление 
(например, атмосферное). Будем также полагать, что струя вытекает в пространство, где внешнее давление также равно 
(истечение в атмосферу). Обобщение на различные давления не составляет труда. Проведем некоторую гипотетическую линию тока и выберем на ней две точки: одну на поверхности жидкости в сосуде (точка 1), другую внутри отверстия (точка 2).
Рис.2.6.
| Тогда для этой линии тока можно записать уравнение Бернулли:
Поскольку поверхность жидкости в сосуде предполагается неподвижной  ), из последнего равенства следует:
Это соотношение называется формулой Торричелли. Заметим, что такую же скорость приобретает тело, которое падает в пустоте с высоты h. С помощью формулы Торричелли, можно оценить, за какое время жидкость полностью истечет из сосуда.
|
Задача о вытекании жидкости из сосуда.
Пусть внизу сосуда имеется отверстие площадью S0, а в самом сосуде начальная высота уровня жидкости равна h0. Нужно найти зависимость высоты уровня жидкости от времени. За какое время жидкость полностью вытечет из сосуда?
Применим формулу Торричелли для скорости жидкости:
.
Тогда объем жидкости, вытекающий в секунду из сосуда, может быть рассчитан, как
.
Но с другой стороны, объем равен:
.
Таким образом, получаем дифференциальное уравнение:
.
Разделяем переменные и интегрируем:
.
.
Используя начальные условия, получим:
,
,
.
Тогда время, за которое вся жидкость выльется из сосуда, будет равно:
.
Кавитация
Если увеличивать скорость движения жидкости по трубе или, при том же самом расходе жидкости уменьшить самое узкое сечение трубы, то можно в этом сечении получить отрицательное давление. Действительно, из уравнения Бернулли и закона не накопления вещества в сечениях S1 и Smin трубы можно записать
Из этих уравнений легко получить выражение для минимального давления 
в самом узком сечении трубы 
:
Из данного соотношения видно, что если второе слагаемое в правой части по абсолютной величине будет больше, чем 
, то минимальное давление окажется «отрицательным», т.е. частицы жидкости, проходящее сечение трубы с «отрицательным» давлением будут подвергаться растяжению (такую жидкость называют «растянутой»). Однако, как отмечалось выше, жидкость не может находиться в растянутом состоянии длительное время. Она «вскипит» или, как говорят, сплошность жидкости нарушится в результате выделения пузырьков растворенного в ней газа. Так как при падении давления до «отрицательных» значений в жидкости выделяются пузырьки, заполненные паром жидкости или газом, растворённым в ней, или тем и другим в той или иной концентрации, то возникает так называемое явление кавитации, т.е. явление нарушения сплошности движущейся среды.
Явление кавитации играет очень важную роль в инженерной практике. Дело в том, что пузырьки газа, проходя самое узкое сечение трубы, попадают далее в область более высокого давления и схлопываются. При этом схлопывание пузырька происходит не симметрично, образуется кумулятивная (направленная) струя.
Если такие пузырьки попадают на поверхность тела, то при их схлопывании возникают довольно значительные локальные давления, которые, в свою очередь, приводят к эрозии, т.е. разрушению, материала поверхности. Аналогичные явления возникают при быстром движении тел в жидкости, например, при вращении гребных винтов пароходов или лопаток гидротурбин. При этом так же образуются области «растянутой» жидкости, в которых выделяются пузырьки. Кавитация приводит к чрезвычайно быстрому их износу и выходу из строя и по настоящее время является предметом интенсивного изучения. Практически можно считать, что кавитация возникает тогда, когда в жидкости давление падает до давления насыщенных паров при данной температуре, т.е. когда 
Форма струи жидкости
Найдем форму струи жидкости, вытекающей из вертикальной трубы круглого сечения радиуса R. Будем пренебрегать вязкостью жидкости, а так же распределением скорости жидкости по радиусу.
Рис.2.7.
Такое предположение обусловлено тем, что на границе струи и воздуха скорость жидкости не равна нулю, а трением жидкости о воздух можно пренебречь. Тогда запишем уравнения непрерывности и Бернулли для произвольного сечения жидкости:
,
.
Поскольку на внешней границе струи давление должно быть равно атмосферному, то, следовательно, давление по всей длине струи одинаково. Выразим скорость из уравнения непрерывности
.
В результате получим:
.
Таким образом, видим, что радиус струи уменьшается в зависимости от расстояния от входа в нее. Будет ли верна эта зависимость для очень тонких струй? Как мы знаем из опыта, каждая струю на определенной высоте распадается на капли. При этом необходимо будет принимать во внимание поверхностное натяжение жидкости.
4. Вязкость.
В реальных жидкостях, в отличие от упрощенной модели идеальной жидкости, помимо нормальных давлений на границах движущихся элементов действуют еще касательные силы внутреннего трения, или вязкость. Убедиться в существовании таких сил можно на простейших примерах.
Во-первых, из уравнения Бернулли следует, что если жидкость будет стационарно течь по горизонтальной трубе постоянного поперечного сечения, то давление вдоль всей трубы будет постоянным. На самом же деле, чтобы поддерживать течение стационарным, на концах трубы необходимо поддерживать постоянную разность давлений. Это связано с необходимостью компенсировать силы внутреннего трения, возникающие при течении.
В качестве другого примера рассмотрим поведение жидкости во вращающемся сосуде. Если вертикальный цилиндрический сосуд, заполненный жидкостью, привести в равномерное вращение относительно своей оси, то жидкость постепенно тоже придет во вращение. Сначала начинают вращаться слои жидкости, прилегающие к стенкам сосуда. Затем вращение передается внутренним слоям, пока вся жидкость не начнет равномерно вращаться как твердое тело. Пока движение не установилось, происходит непрерывная передача вращения от сосуда к жидкости, и далее от наружных слоев жидкости к внутренним. Такая передача движения или импульса была бы не возможна без касательных сил, действующих между жидкостью и стенкой сосуда, а также между слоями жидкости, вращающимися с различными угловыми скоростями. Эти касательные силы называют силами трения, внутреннего, или вязкого, если они действуют между слоями жидкости, и внешнего, если они действуют между жидкостью и стенками сосуда.
Чтобы найти количественные законы вязкого трения, рассмотрим простейший пример. Возьмем две параллельные бесконечно длинные пластинки, между которыми находится жидкость. В практическом смысле пластинки можно считать бесконечно длинными, если их длина и ширина много больше расстояния между ними. Пусть нижняя пластинка неподвижна, а верхняя пластинка движется относительно нижней с постоянной скоростью v0. Чтобы поддерживать движение пластинки постоянным, очевидно, к ней нужно приложить постоянную силу F, направленную в сторону движения. Как мы уже рассматривали в примере с вращающимся сосудом, движение верхней пластинки будет передаваться жидкости, а затем и нижней пластинке. Поэтому, чтобы удержать ее в покое, на нее должна действовать такая же, но противоположно направленная сила. Ньютон экспериментально установил, что величина силы F пропорциональна скорости v0, площади S пластинки и обратно пропорциональна расстоянию h между пластинками:
.
Здесь η – коэффициент, называемый коэффициентом внутреннего трения или коэффициентом вязкости жидкости. (Посчитать размерность этого коэффициента.) Коэффициент вязкости не зависит от материала пластинок, является характеристикой жидкости и для различных жидкостей имеет различные значения. Для определенной жидкости его значение зависит от параметров, характеризующих ее внутреннее состояние, в первую очередь, от температуры.
Если нижняя пластинка не неподвижна, а обе они движутся равномерно параллельно друг другу, то можно написать более общую формулу
,
где v1 – скорость движения нижней пластинки, v2 – верхней. Чтобы убедиться в этом, достаточно перейти в систему отсчета, в которой нижняя пластинка покоится.
Вообще говоря, при равномерном движении верхней пластинки жидкость должна действовать на нее с силой –F, чтобы полная сила, приложенная к пластинке, обращалась в нуль. Сама пластинка, соответственно, действует на жидкость с силой +F. Аналогично и с нижней пластинкой, она будет действовать на жидкость с силой –F. Кроме того, экспериментально установлено, что жидкость, обладающая вязкостью, прилипает к поверхности тела, которое она обтекает. То есть скорости движения частиц жидкости относительно поверхности обтекаемого тела, на которой они находятся, равны нулю. Поэтому в полученной нами формуле силы можно считать приложенными не к пластинкам, а к границам заключенного между ними слоя жидкости, точно так же скорости v1 и v2 можно отождествить не с пластинками, а со скоростями движения тех же границ жидкости. Тем самым, для введения понятия коэффициента вязкости надобность в пластинках отпадает.
Чтобы обобщить последнюю формулу, допустим, что жидкость течет вдоль оси x, причем скорость течения зависит только от координаты y:
, 
.
Вырежем мысленно жидкий слой, ограниченный бесконечно близкими плоскостями, перпендикулярными к оси y. Пусть эти плоскости пересекаю ось y в точках с координатами y и y+dy. Обозначим τyx касательную силу, действующую на единицу площади верхней границы такого слоя со стороны вышележащей жидкости. Первый индекс указывает, какой оси перпендикулярна рассматриваемая площадка, то есть направление внешней нормали к этой плоскости, второй индекс указывает направление действия рассматриваемой силы. Тогда можно записать, обобщая полученную ранее формулу, что
.
Такая формула будет справедлива не только для равномерного течения, но и для течения, скорость vx которого зависит от времени. Очевидно, что на нижней границе выделенного слоя будет действовать касательное напряжение τ-yx, направленное в противоположную сторону. Оно бесконечно мало отличается от τyx ввиду бесконечной малости толщины рассматриваемого слоя. (τyx = –τ-yx).
Рассмотрим теперь параллелепипед в том же потоке жидкости, ребра которого параллельны координатным осям. Чтобы движение выделенного элемента оставалось параллельным оси, нужно, чтобы момент действующих на него сил был равен нулю. Поэтому на его боковых основаниях, перпендикулярных потоку, также должны действовать касательные напряжения, причем
.
Таким образом, касательные напряжения действуют не только в плоскостях, параллельных течению, но и в плоскостях, перпендикулярных ему.
Допустим теперь, что жидкость течет не параллельным потоком, а произвольным образом. Тогда из всех возникающих касательных и нормальных напряжений мы получим так называемый тензор вязких напряжений. Если мы примем, что касательные составляющие этого тензора зависит только от скоростей в различных слоях жидкости, то есть от первой производной скорости, и не зависит от более высоких порядков производных. В таком приближении касательные напряжения являются линейными однородными функциями производных
.
Если бы из этих шести производных на поверхности рассмотренного нами элемента отлична от нуля была бы только производная 
, то вдоль оси x действовало бы касательно напряжение 
. Если бы отличалась от нуля только производная 
, то касательное напряжение имело бы то же направление и составило бы величину 
. А если от нуля были бы отличны обе эти производные, то на рассматриваемой границе касательное напряжение имело бы величину 
. Это следует из предположения о линейной однородной зависимости между касательными напряжениями и изменение скорости движения в потоке жидкости. Также это выражение не будет зависеть от остальных производных. Рассуждая аналогично, можно найти все касательные напряжения, действующие на гранях параллелепипеда:
,
,
.
Рассмотрим полезный частный случай, когда вязкая жидкость вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω. Линии тока будут имеют форму окружностей. Пусть АВ — бесконечно малый участок линии тока длиной rdφ. Касательное напряжение на цилиндрической поверхности, на которой лежит этот участок, очевидно, направлено в сторону вращения. Его следует обозначить как τrφ. Первый индекс r указывает направление внешней нормали к цилиндрической поверхности, второй индекс φ — положительное направление касательного напряжения. В рассматриваемом случае роль dy играет dr, роль dx — длина дуги АВ = rdφ. Поэтому для касательного напряжения получаем
.
В точке А радиальная составляющая скорости v равна нулю. В точке В появляется составляющая скорости вдоль радиуса ОА, равная
dvr = –vφdφ, так что 
.
Следовательно, для касательного напряжения получаем
Подставляя сюда 
, получим
.
Видно, что вязкие напряжения исчезают, если 
, то есть если жидкость вращается как целое, подобно твердому телу. Можно обратить внимание, что этого бы не получилось, если бы в формуле 
не было учтено второе слагаемое.
В качестве примера на применение формулы для τrφ рассмотрим установившееся движение жидкости между двумя равномерно вращающимися коаксиальными цилиндрами. Пусть l — высота цилиндров, R1 и R2 – их радиусы, a Ω1 и Ω2 – угловые скорости. Величину l будем предполагать очень большой по сравнению с толщиной зазора R2 – R1 между цилиндрами. Тогда цилиндры можно считать бесконечно длинными и отвлечься от осложняющих обстоятельств, вносимых их краями.
Проведем в жидкости произвольную цилиндрическую поверхность радиуса r. Момент сил вязкости, действующих на этой поверхности, относительно оси вращения равен
( 
).
При установившемся вращении жидкости этот момент не должен зависеть от радиуса r. Только при этом условии момент сил, действующих на жидкость, заключенную между двумя любыми коаксиальными цилиндрическими поверхностями, обращается в нуль, так как суммарный момент будет определяться интегралом 
. Таким образом, мы приходим к уравнению
.
Обозначив эту константу как –2A, получим
.
Чтобы определить константы интегрирования, нам нужны граничные условия. Вспомним, что вязкая жидкость прилипает к поверхности обтекаемого тела, следовательно, угловая скорость на поверхностях цилиндра должна совпадать с угловыми скоростями вращения самих цилиндров: 
, 
. Подставив эти граничные условия, в итоге получим, что
, 
и далее
.
Момент сил вязкости, действующий на внутренний цилиндр, равен
.
Эта формула лежит в основе практического метода измерения коэффициентов вязкости жидкостей и газов. Внутренний цилиндр подвешивается в исследуемой жидкости в вертикальном положении на тонкой нити, а наружный приводится в равномерное вращение с угловой скоростью Ω. Измеряется угол закручивания нити φ, при котором внутренний цилиндр находится в равновесии. Это будет тогда, когда момент вязких напряжений M уравновешивается моментом закрученной нити fφ, где f — модуль кручения, справочная величина для данного материала нити. Коэффициент вязкости рассчитывается по формуле
.
5. Стационарное течение жидкости по прямолинейной
трубе. Формула Пуазейля.
Пусть вязкая несжимаемая жидкость течет вдоль прямолинейной цилиндрической трубы радиуса R. Линии тока в таком случае параллельны оси трубы. Если выделить произвольную бесконечно узкую трубку тока, то из условия несжимаемости (неразрывности струи) следует, что скорость течения v будет одна и та же вдоль всей трубки тока — скорость жидкости не может меняться вдоль трубы, так как ее поперечное сечение постоянно. Но она, конечно, может изменяться с изменением расстояния r от оси трубы. Таким образом, скорость жидкости v является функцией радиуса r. Примем ось трубы за ось X, направленную в сторону течения. Выделим в трубе произвольную бесконечно короткую цилиндрическую часть длины dx и радиуса r. На ее боковую поверхность в направлении движения действует касательная сила внутреннего трения 
. Кроме того, на основания цилиндра в том же направлении действует сила разности давлений 
. При стационарном течении сумма этих двух сил должна обращаться в нуль, а потому
.
Скорость v(r), а с ней и производная dv/dr не меняются с изменением х. Поэтому должна быть постоянной и производная dp/dx, причем эта производная должна быть равна (p2 – p1)/l, где p1 — давление на входе трубы, p2 — на выходе, а l — длина трубы. В результате приходим к уравнению
.
Интегрируя его, получим
.
Постоянная интегрирования С определится из условия, что на стенке трубы, т. е. при r = R скорость v должна обращаться в нуль. Это дает
.
Скорость v максимальна на оси трубы, где она достигает значения
.
При удалении от оси скорость v меняется по параболическому закону.
Подсчитаем расход жидкости, т. е. количество ее, ежесекундно протекающее через поперечное сечение трубы. Масса жидкости, ежесекундно протекающая через кольцевую площадку с внутренним радиусом r и внешним r + dr, равна dQ = 2πrdr∙ρv. Подставляя сюда выражение для v и интегрируя, находим искомый расход жидкости
.
Расход жидкости пропорционален разности давлений p1 – p2, четвертой степени радиуса трубы и обратно пропорционален длине трубы и коэффициенту вязкости жидкости. Эти закономерности были установлены экспериментально и независимо друг от друга в 1839 г. Гагеном и в 1840 г. Пуазейлем (1799—1869). Гаген исследовал движение воды в трубах, Пуазейль — течение жидкостей в капиллярах. Полученная формула для расхода называется формулой Пуазейля, хотя сам Пуазейль и не выводил ее, он исследовал вопрос только экспериментально. На формуле Пуазейля основан еще один из экспериментальных методов определения коэффициентов вязкости жидкостей (измеряем расход при прочих известных величинах, вычисляем вязкость).
Формулу для расхода можно представить в виде 
. С другой стороны, можно ввести среднюю скорость потока 
, определив ее с помощью соотношения 
. Сравнивая эти два выражения, получаем
.
Формула Пуазейля справедлива только для ламинарных течений жидкости. Ламинарным называется такое течение, когда частицы жидкости движутся вдоль прямолинейных траекторий, параллельных оси трубы. При больших скоростях ламинарное течение становится неустойчивым и переходит в турбулентное течение, с которым мы познакомимся дальше. К турбулентным течениям формула Пуазейля неприменима.
Кинетическая энергия, ежесекундно переносимая потоком жидкости через поперечное сечение трубы, определяется выражением
.
После подстановки найденного значения для скорости v и интегрирования, получим
.
При этом работа, производимая над жидкостью в единицу времени разностью давлений p1 – p2, определяется выражением 
или
.
Такую же по величине, но противоположную по знаку работу производят силы внутреннего трения, так как при стационарном течении кинетическая энергия жидкости остается неизменной: А' = –A. С помощью формулы для v0 можно исключить разность давлений p1 – p2 и получить
.
Полученные формулы позволяют ответить на вопрос, когда при течении жидкости по трубе можно пренебречь силами вязкости и, следовательно, применять уравнение Бернулли. Для этого, очевидно, необходимо, чтобы потеря кинетической энергии жидкости, обусловленная действием сил вязкости, была пренебрежимо мала по сравнению с кинетической энергией самой жидкости, т. е. 
. Это приводит к условию
.
Здесь буквой ν обозначена так называемая кинематическая вязкость, т. е. отношение
.
Величину η, когда ее надо отличить от кинематической вязкости, называют динамической вязкостью.
6. Турбулентность и гидродинамическая неустойчивость
До сих пор при изучении движений жидкости мы имели в виду так называемые ламинарные (слоистые) течения жидкостей и газов. Особенностью ламинарного течения является его регулярность. Течение при сохранении ламинарности может изменяться лишь вследствие изменения сил, действующих на жидкость, или внешних условий, в которых она находится. Так, при ламинарном течении в прямолинейной трубе постоянного поперечного сечения частицы жидкости движутся вдоль прямолинейных траекторий, параллельных оси трубы. Однако при достаточно больших скоростях ламинарное течение оказывается неустойчивым и переходит в так называемое турбулентное течение. Турбулентное течение – это такое течение, гидродинамические характеристики которого (скорость, давление, а для газов — плотность и температура) быстро и нерегулярно изменяются во времени (флуктуируют). Частицы жидкости совершают нерегулярные, неустановившиеся движения по сложным траекториям, что приводит к интенсивному перемешиванию между слоями движущейся жидкости. Примерами могут служить движение воды в бурном горном потоке, водопаде или за кормой быстроплывущего корабля, движение дыма, выходящего из трубы и т. п. Такие быстрые и нерегулярные изменения происходят не из-за изменений действующих сил или внешних условий, а вследствие неустойчивости ламинарных течений при определенных условиях. Неустойчивость ламинарных течений и возникновение турбулентности – очень сложные вопросы, еще далекие до окончательного решения. Рассмотрение их далеко выходит за рамки нашего курса, подробнее вы будете рассматривать его в курсе гидродинамики. Тем не менее имеет смысл привести простейший пример, когда вопрос об устойчивости ламинарного течения решается элементарно.
Таким примером может служить установившееся ламинарное движение жидкости между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами, которое мы уже рассматривали, при больших числах Рейнольдса. Число Рейнольдса является важной характеристикой течения жидкости, остановимся на нем подробнее. Это одно из так называемых безразмерных критериев подобия течений, с которыми вы познакомитесь позже. Оно определяется соотношением
,
где l – характерный размер течения (например, радиус сечения трубы или поперечный размер обтекаемого тела), v0 – характерная скорость потока (например, скорость жидкости вдали от обтекаемого тела или средняя скорость течения). Если рассматривать физический смысл этого параметра, то по порядку величины число Рейнольдса есть отношение кинетической энергии жидкости к потере ее, обусловленной работой сил вязкости на характерной длине. Действительно, кинетическая энергия жидкости 
. Силу вязкости найдем, умножая величину вязкого напряжения ηv0/l на характерную площадь l2. Это дает ηv0l. Произведение этой силы на характерную длину определяет по порядку величины работу сил вязкости 
. Тогда отношение кинетической энергии к работе составит величину порядка
,
а это и есть число Рейнольдса. Таким образом, число Рейнольдса определяет относительную роль инерции и вязкости жидкости при течении. При больших числах Рейнольдса основную роль играет инерция, при малых – вязкость.
Число Рейнольдса, конечно, определено не вполне четко, поскольку оно содержит характерную длину и характерную скорость, которые сами определены не четко. Это число определено лишь по порядку величины. Если размеры тела в разных направлениях примерно одинаковы, то особой неопределенности не возникает. Если же это не так, то в качестве характерной длины могут быть выбраны разные величины, которые могут отличаться друг от друга значительно. Например, при течении жидкости по трубе за характерную длину можно взять длину трубы, ее радиус или какую-либо промежуточную величину. Соответствующие числа Рейнольдса могут отличаться на много порядков. Какое из этих чисел взять — зависит от поставленной задачи. Так рассматривая течение в цилиндрической трубе, мы вывели условие 
, при выполнении которого силами вязкости можно пренебречь. Величину, стоящую слева в формуле можно рассматривать как число Рейнольдса, если за характерную длину принять 
. В рассматриваемом случае характерный размер зависит как от длины трубы, так и от ее радиуса. При таком выборе получается рассмотренное ранее условие, справедливое для всех, а не только геометрически подобных круглых труб (т. е. труб с постоянным отношением R/l).
Итак, при больших числах Рейнольдса вязкостью жидкости можно пренебречь, считая жидкость идеальной. Для идеальных жидкостей, из-за отсутствия тангенциальных напряжений, зависимость скорости от расстояния до оси вращения может быть произвольной: v = v(r). Но уже ничтожной вязкости достаточно, чтобы спустя некоторое время после начала движения установилось вполне определенное распределение скоростей вдоль радиуса, а именно
.
Однако для последующих рассуждений конкретизация вида функции v = v(r) не обязательна. В невозмущенном потоке частицы жидкости движутся по окружностям с определенной угловой скоростью 
. Рассмотрим какой-либо элемент жидкости, вращающийся по окружности радиуса r0. На него действует центростремительная сила 
, создаваемая разностью давлений окружающей жидкости. Введя момент количества движения 
, запишем выражение для силы в виде
.
Допустим теперь, что под влиянием какого-то бесконечно малого случайного толчка рассматриваемый элемент жидкости сместился в новое положение, находящееся на расстоянии r от оси вращения. Можно предполагать, что толчок был совершен в направлении от или к оси вращения, так как, если движение жидкости неустойчиво по отношению к возмущениям специального вида, то оно неустойчиво вообще. Момент силы такого толчка относительно оси вращения равен нулю. Результирующая сил давления окружающей жидкости также не дает момента, поскольку она направлена к оси вращения. Поэтому при смещении элемента момент его количества движения сохранится, т. е. и в новом положении будет L(r0). Чтобы сместившийся элемент равномерно вращался по окружности радиуса r, на него должна действовать центростремительная сила 
. Между тем единственная сила, которой он подвержен, есть сила давления окружающей жидкости, а она равна 
. Если эта сила не равна F'0, то элемент жидкости не удержится на новой круговой орбите, куда он попал. Он будет либо возвращаться к исходной орбите, либо удаляться от нее. В первом случае движение жидкости устойчиво, во втором — неустойчиво.
Допустим, например, что r >r0. Если F > F'0, т. е. L2(r) > L2(r0), то давление окружающей жидкости больше того, которое требуется для удержания сместившегося элемента жидкости на окружности радиуса r. Сместившийся элемент вернется на исходную окружность — движение устойчиво.
Если же F < F'0, т. е. L2(r) < L2(r0), то силы давления окружающей жидкости недостаточно, чтобы удержать элемент на окружности радиуса r. Элемент жидкости будет уходить еще дальше — движение неустойчивое.
Если r <r0, то рассуждая аналогично, найдем, что при L2(r) < L2(r0) движение устойчиво, а при L2(r) > L2(r0) — неустойчиво. В обоих случаях критерий устойчивости можно выразить неравенством
,
или 
.
Таким образом, для устойчивости необходимо, чтобы величина 
монотонно возрастала при удалении от оси вращения. Если цилиндры вращаются в противоположные стороны, то это невозможно. Действительно, в этом случае на поверхностях цилиндров угловая скорость ω имеет противоположные знаки. Так как ω — непрерывная функция r, то она должна обращаться в нуль в какой-то промежуточной точке. В этой точке величина равна нулю, т. е. достигает минимума. По разные стороны от нее производная 
имеет противоположные знаки, т. е. условие устойчивости не может выполняться. Значит, если цилиндры вращаются в противоположные стороны, то движение жидкости неустойчиво. Оно будет неустойчивым и в том случае, когда внутренний цилиндр вращается, а наружный покоится. Действительно, на поверхности наружного цилиндра 
, а на поверхности внутреннего 
. Поэтому с увеличением r величина не может монотонно возрастать, и движение неустойчиво. Если же вращается наружный цилиндр, а внутренний покоится, то установившееся вращение жидкости будет устойчивым. В этом случае с удалением от оси вращения угловая скорость ω возрастает, а потому тем более будет возрастать . Теперь становится понятным, почему при измерении коэффициента внутреннего трения по методу, описанному когда мы рассматривали понятие вязкости, должен вращаться наружный, а не внутренний цилиндр. В противном случае вращение жидкости между цилиндрами было бы неустойчивым.
4. Приведенное исследование было выполнено без учета вязкости жидкости. Силы вязкости, уменьшая кинетическую энергию жидкости, всегда препятствуют развитию неустойчивостей. Область неустойчивости ламинарного течения сужается. Ограничимся этим общим замечанием о роли сил вязкости, так как нашей целью было только показать на простейшем примере, что ламинарное течение жидкости не всегда устойчиво.
5. При возрастании скорости течения ламинарное движение переходит в турбулентное. Скорость, при которой это происходит, называется критической. Вместо скорости лучше пользоваться безразмерной величиной — числом Рейнольдса. Граничное значение числа Рейнольдса, при котором ламинарный режим течения сменяется турбулентным, называется критическим числом Рейнольдса и обозначается ReKp. Значение ReKp зависит от конфигурации тел, обтекаемых жидкостью, а также от степени возмущенности самого ламинарного течения. Так, при течении по прямолинейной трубе круглого сечения 
, если труба непосредственно присоединена к водопроводу и не приняты специальные предосторожности для уменьшения возмущенности воды у края трубы (а — радиус трубы, v—средняя скорость течения). Величину начальной возмущенности можно уменьшить, применяя трубы с гладкими стенками и закругленными краями. Кроме того, следует присоединять их к большому баку с водой и подождать, пока вода в нем не успокоится. Таким путем удается добиться затягивания ламинарного режима в трубах до значительно больших ReKp, например до 
.
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ
7. Средняя длина свободного пробега.
Средняя скорость теплового движения газовых молекул определяется формулой
.
(k = 1,38064852(79)·10−23 Дж/K, m ~ 10-26 кг)
Уже при комнатной температуре она составляет ощутимо большую величину, порядка 102 и даже 103. Например, при 0°С для молекул водорода, азота и кислорода величина v равна соответственно 1700 м/с, 455 м/с и 425 м/с. На ранней стадии развития кинетической теории газов столь большие значения скоростей молекул некоторым физикам казались невозможными. Если скорости молекул действительно так велики, – говорили они, – то запах пахучего вещества должен был бы распространяться от одного конца комнаты к другому практически мгновенно. На самом деле при отсутствии конвективных потоков воздуха время распространения запаха на такие расстояния может составлять многие минуты и даже часы. Причина в том, что молекулы газа сталкиваются между собой и распространение запаха осуществляется посредством медленного процесса диффузии.
Для демонстрации медленности диффузии газов можно взять стеклянный цилиндр, закрытый сверху проволочной сеткой. Вдоль оси цилиндра пропущена тонкая стеклянная палочка или трубка, к которой на равных расстояниях прикреплено около 10 полосок фильтровальной бумаги, смоченных в фенолфталеине. На сетку сверху кладется вата, смоченная нашатырным спиртом. Выделяющийся аммиак диффундирует вниз. Диффузия наблюдается по покраснению полосок фильтровальной бумаги. Через 1—2 минуты начинается покраснение верхней полоски. Нижняя полоска начинает краснеть минут через 20. Аммиак легче воздуха, поэтому его проникновение вниз происходит только в результате диффузии. Стеклянный цилиндр служит для предотвращения возникновения потоков воздуха.
Значительно медленнее происходит диффузия в жидкостях, хотя скорости теплового движения здесь такие же, что и в газах и в твердых телах. Если узкий и высокий стеклянный цилиндр наполнить дистиллированной водой, а затем на дно с помощью специальной трубки осторожно опустить кристаллы медного купороса, то последние растворятся, и начнется диффузия. Чтобы ее заметить на глаз, нужны сутки или несколько суток. А для того чтобы получился однородный раствор по всей высоте цилиндра, требуется несколько месяцев. В твердых телах диффузия происходит еще медленнее, и требуются специальные методы, чтобы ее обнаружить.
Так же медленно происходит выравнивание температур между различными частями неравномерно нагретого газа посредством теплопроводности или выравнивание скоростей макроскопического движения газа посредством сил внутреннего трения.
Медленность диффузии и аналогичных ей явлений Клаузиус объяснил столкновениями молекул. Молекула газа не все время движется свободно, а время от времени испытывает столкновения с другими молекулами. Свободно она пролетает короткое расстояние от одного столкновения до следующего. В момент столкновения скорость молекулы испытывает резкое изменение как по величине, так и по направлению. В результате траектория молекулы получается не прямой, а ломаной линией с большим количеством звеньев. Молекула беспорядочно мечется туда и сюда, и ее общее продвижение вперед происходит сравнительно медленно. Для количественного описания явления Кдаузиус ввел понятие средней длины свободного пробега, т. е. среднего расстояния, которое пролетает молекула от одного столкновения до следующего.
Для вычисления средней длины свободного пробега будем пользоваться моделью твердых шаров. Между столкновениями молекулы — шары движутся по инерции прямолинейно и равномерно. В моменты столкновений между молекулами развиваются очень большие силы отталкивания, изменяющие их скорости по величине и направлению. Разумеется, такая грубая модель передает далеко не все черты явлений, которые происходят при столкновениях. Молекулы могут распадаться и соединяться. Атомы могут ионизоваться, переходить в возбужденные состояния и т. д. Все это оставим сейчас без внимания. Модель твердых шаров может приблизительно правильно описать только процессы рассеяния молекул, в которых происходят изменения скорости и направления движения этих частиц в результате столкновений их между собой и со стенками сосуда, в котором заключен газ.
Для упрощения расчета предположим, что движется только одна молекула с постоянной скоростью v, а все остальные молекулы неподвижны. Будем называть движущуюся молекулу молекулой A. Вообразим, что с молекулой А жестко связана концентрическая с ней твердая сфера S вдвое большего диаметра. Назовем эту сферу сферой ограждения молекулы А. В момент столкновения расстояние между центрами сталкивающихся молекул равно диаметру молекулы d. Следовательно, в этот момент центр неподвижной молекулы, с которой столкнулась молекула А, окажется на поверхности сферы ограждения последней. Очевидно, он не может проникнуть внутрь этой сферы. Между двумя последовательными столкновениями молекулы А ее сфера ограждения описывает цилиндр, длина которого и есть свободный пробег молекулы А. Из таких цилиндров складывается поверхность, описываемая с течением времени сферой ограждения. Для краткости будем называть эту поверхность ломаным цилиндром. Если центр другой молекулы лежит внутри или на боковой поверхности этого цилиндра, то она столкнется с молекулой А. В противном случае столкновения не произойдет. Пусть V — объем ломаного цилиндра, описываемого сферой S в единицу времени. Среднее число z столкновений движущейся молекулы с остальными молекулами в единицу времени равно среднему числу последних в объеме V, т. е. z = Vn, где п — число молекул в единице объема. Мы предполагаем, что средняя длина свободного пробега λ очень велика по сравнению с диаметром сферы ограждения 2d. Тогда можно пренебречь теми частями объема V,которые приходятся на изломы цилиндра, т. е. при вычислении V цилиндр можно считать прямым, а его высоту равной скорости молекулы v. В этом приближении V = σv, где σ = πd2 – площадь поперечного сечения цилиндра. Следовательно,
z = nσv.
Путь, пройденный молекулой А за единицу времени, равен v. Разделив его на среднее число столкновений z, найдем среднюю длину свободного пробега молекулы:
.
Из вывода следует, что при получении формул для z и λ можно рассуждать так, как если бы все молекулы, с которыми сталкивается молекула А, были точечными, а радиус молекулы А увеличен вдвое, т. е. молекула А заменена ее сферой ограждения. Такая замена может рассматриваться как вычислительный прием для учета конечных размеров молекул, сталкивающихся с молекулой А.
Конечно, полученные формулы не точны, поскольку в основу их вывода положено предположение, что движется только одна молекула, а все остальные неподвижны. Строгий расчет был дан Максвеллом с учетом максвелловского распределения м