Объединенное распределение. Полученные распределения (4.8), (4.10) и (4.12) объединяет формула

, (4.13)

где

Распределения Максвелла(М),

Бозе–Эйнштейна (Б), Ферми–Дирака(Ф)

Квантовые распределения (4.8) и (4.10) переходят в классическое распределение (4.12) при

,

тогда из

находим

, при .

Используя активность

,

для классической системы получаем

,

,

. (4.14)

Химический потенциал системы.Если частица имеет сохраняющийся заряд – электрический, и/или барионный, и/или лептонный, то в силу закона сохранения заряда в изолированной системе число частиц сохраняется. Тогда химический потенциалопределяется из условия нормировки распределения на число частиц системы. Используем число частиц системы в интервале энергии

.

Интегрируем по энергии, и получаем число частиц системы:

, (4.15)

где n – концентрация частиц.

Для трехмерного газа с законом дисперсии плотность состояний (3.8а)

,

где

.

Для распределения (4.13)

,

получаем концентрацию

. (4.16)

Следовательно, химический потенциал зависит от массы частицы m, от числа спиновых состояний N_S, от концентрации n, от температуры T и от рода газа .

Зависимость химического потенциала трехмерного газа фермионов от температуры показана на рис.

Критическая температура фермионов определяется условием

.

Виды фермионного газа. В зависимости от температуры различают:

– невырожденный газ, близкий к классическому газу;

– вырожденный газ с квантовыми свойствами.

Невырожденный газ описывается распределением Максвелла. Из (4.16) при получаем

,

где использовано

,

.

Откуда выражаем активность и химический потенциал

,

. (4.17)

Химический потенциал невырожденного газа отрицательный, увеличивается с понижением температуры (как показано на рис.) и с ростом концентрации частиц. При результат совпадает с химическим потенциалом (2.62а) классического газа. Условия применимости классического распределения (4.14)

(4.18)

выполняются, если:

· масса частицы m – большая;

· концентрация частиц n – мала;

· температура T – велика.

Вырожденный газ фермионов проявляет квантовые свойства и нарушает условия (4.18), тогда

, .

Условия применимости квантового распределения:

· масса частицы мала;

· концентрация частиц велика;

· температура не превышает критического значения ;

· ширина переходной области вблизи уровня Ферми мала по сравнению с энергией Ферми, тепловая энергия возбуждает незначительное количество из общего числа частиц.

Критическая температура фермионов. Используем

Из (4.16)

при , получаем

Интеграл равен

где использовано

тогда

. (4.19)

Для электронов ,

. (4.19а)

Физический смысл критической температуры. Согласно распределению Максвелла наиболее вероятная скорость частицы

Ей соответствует длина волны де Бройля при

где учтено (4.19а). Концентрацию частиц выражаем через среднее расстояние d между частицами

тогда

С учетом получаем

При критической температуре длина волны де Бройля сравнима со средним расстоянием между частицами.

Для квантового газа фермионов:

· длина волны де Бройля велика по сравнению с расстоянием между частицами ;

· температура газа низкая по сравнению с критической температурой ;

· ширина переходной области мала по сравнению с химическим потенциалом;

· тепловое движение активизирует малое число электронов, находящихся вблизи уровня Ферми.

Для классического газа фермионов:

· длина волны де Бройля мала ;

· температура газа высокая ;

· ширина переходной области велика и сопоставима с максимальной энергией фермионов;

· все электроны активизированы тепловым движением;

· наиболее вероятный импульс большой.

Для электронного газа в металле

n » (1–18)×10²² см^–3, m » 10^–27г.

Из (4.19а)

находим

При нормальной температуре получаем и газ вырожден, доля активизированных электронов не превышает 1%. Это объясняет противоречие между классической теорией теплоемкости и экспериментом, показавшим, что электронный газ не дает вклада в теплоемкость металла.

Для собственного полупроводника

n £ 10¹⁷ см^–3, .

При нормальной температуре , газ не вырожден, выполняется распределение Максвелла.

Молекулярный газ, например гелий с m » 3700 m_эл, остается невырожденным до очень низких температур.

Тепловые флуктуации числа частиц. Из (4.5) и (4.6) получаем

Тогда дисперсия числа частиц

Для универсального распределения (4.13)

получаем

В результате дисперсия числа частиц

. (4.20)

Для фермионов ,

При 0 и 1 получаем , на уровне Ферми и D_max = 0,25. Флуктуация фермионов не велика и максимальна на уровне Ферми.

Для бозонов ,

При большой заселенности уровня дисперсия велика

Это объясняется взаимной интерференцией волновых пакетов, представляющих отдельные частицы и следующих в случайной последовательности. При интерференции двух волн с равными амплитудами наибольшая амплитуда удваивается, а интенсивность волны и плотность вероятности учетверяются. Наименьшая амплитуда и плотность вероятности равны нулю. В результате дисперсия числа частиц увеличивается. Интерференцией объясняется взаимное «притяжение» бозонов – при тепловом равновесии бозоны перемещаются группами. Фотонные пары с меньшим временным интервалом регистрируются чаще, чем пары с большим интервалом. Вероятность найти тождественные бозоны в близких квантовых состояниях выше, чем вероятность найти нетождественные частицы.

У фермионов перекрытие когерентных пакетов запрещено принципом Паули. Это приводит к взаимному «отталкиванию» фермионов и уменьшает флуктуацию числа частиц.

Корпускулярно-волновой дуализм бозонов. Из теории вероятности известно, что дисперсия аддитивна, если обусловлена независимыми причинами. Это имеет место для бозонов согласно

Линейное слагаемое соответствует частицам, их флуктуация является дробовым шумом. Квадратичное слагаемое соответствует интерферирующим волнам, их флуктуация является волновым шумом. Наличие двух вкладов в дисперсию фотонов обнаружил А. Эйнштейн в 1909 г. Он рассматривал этот факт как проявление корпускулярно-волнового дуализма, т. е. совмещения волновых и корпускулярных свойств. При малой энергии, низкой частоте, большой длине волны заселенность состояний бозонов велика , тогда и система проявляет волновые свойства. При большой энергии, большой частоте, малой длине волны заселенность мала , тогда и система проявляет корпускулярные свойства. Для классического идеального газа , дисперсия мала . Флуктуация является дробовым шумом, газ проявляет корпускулярные свойства, и ведет себя как множество частиц.