Объединенное распределение. Полученные распределения (4.8), (4.10) и (4.12) объединяет формула
, (4.13)
где
Распределения Максвелла(М),
Бозе–Эйнштейна (Б), Ферми–Дирака(Ф)
Квантовые распределения (4.8) и (4.10) переходят в классическое распределение (4.12) при
,
тогда из
находим
, при
.
Используя активность
,
для классической системы получаем
,
,
. (4.14)
Химический потенциал системы.Если частица имеет сохраняющийся заряд – электрический, и/или барионный, и/или лептонный, то в силу закона сохранения заряда в изолированной системе число частиц сохраняется. Тогда химический потенциалопределяется из условия нормировки распределения на число частиц системы. Используем число частиц системы в интервале энергии
.
Интегрируем по энергии, и получаем число частиц системы:
, (4.15)
где n – концентрация частиц.
Для трехмерного газа с законом дисперсии плотность состояний (3.8а)
,
где
.
Для распределения (4.13)
,
получаем концентрацию
. (4.16)
Следовательно, химический потенциал зависит от массы частицы m, от числа спиновых состояний NS, от концентрации n, от температуры T и от рода газа .
Зависимость химического потенциала трехмерного газа фермионов от температуры показана на рис.
Критическая температура фермионов определяется условием
.
Виды фермионного газа. В зависимости от температуры различают:
– невырожденный газ, близкий к классическому газу;
– вырожденный газ с квантовыми свойствами.
Невырожденный газ описывается распределением Максвелла. Из (4.16) при получаем
,
где использовано
,
.
Откуда выражаем активность и химический потенциал
,
. (4.17)
Химический потенциал невырожденного газа отрицательный, увеличивается с понижением температуры (как показано на рис.) и с ростом концентрации частиц. При результат совпадает с химическим потенциалом (2.62а) классического газа. Условия применимости классического распределения (4.14)
,
(4.18)
выполняются, если:
· масса частицы m – большая;
· концентрация частиц n – мала;
· температура T – велика.
Вырожденный газ фермионов проявляет квантовые свойства и нарушает условия (4.18), тогда
,
.
Условия применимости квантового распределения:
· масса частицы мала;
· концентрация частиц велика;
· температура не превышает критического значения ;
· ширина переходной области вблизи уровня Ферми мала по сравнению с энергией Ферми, тепловая энергия возбуждает незначительное количество из общего числа частиц.
Критическая температура фермионов. Используем
.
Из (4.16)
при ,
получаем
.
Интеграл равен
,
где использовано
,
тогда
. (4.19)
Для электронов ,
. (4.19а)
Физический смысл критической температуры. Согласно распределению Максвелла наиболее вероятная скорость частицы
.
Ей соответствует длина волны де Бройля при
,
где учтено (4.19а). Концентрацию частиц выражаем через среднее расстояние d между частицами
,
тогда
.
С учетом получаем
.
При критической температуре длина волны де Бройля сравнима со средним расстоянием между частицами.
Для квантового газа фермионов:
· длина волны де Бройля велика по сравнению с расстоянием между частицами ;
· температура газа низкая по сравнению с критической температурой ;
· ширина переходной области мала по сравнению с химическим потенциалом;
· тепловое движение активизирует малое число электронов, находящихся вблизи уровня Ферми.
Для классического газа фермионов:
· длина волны де Бройля мала ;
· температура газа высокая ;
· ширина переходной области велика и сопоставима с максимальной энергией фермионов;
· все электроны активизированы тепловым движением;
· наиболее вероятный импульс большой.
Для электронного газа в металле
n » (1–18)×1022 см–3, m » 10–27 г.
Из (4.19а)
находим
.
При нормальной температуре получаем и газ вырожден, доля активизированных электронов не превышает 1%. Это объясняет противоречие между классической теорией теплоемкости и экспериментом, показавшим, что электронный газ не дает вклада в теплоемкость металла.
Для собственного полупроводника
n £ 1017 см–3, .
При нормальной температуре , газ не вырожден, выполняется распределение Максвелла.
Молекулярный газ, например гелий с m » 3700 mэл, остается невырожденным до очень низких температур.
Тепловые флуктуации числа частиц. Из (4.5) и (4.6) получаем
,
,
.
Тогда дисперсия числа частиц
.
Для универсального распределения (4.13)
получаем
.
В результате дисперсия числа частиц
. (4.20)
Для фермионов ,
.
При 0 и
1 получаем
, на уровне Ферми
и Dmax = 0,25. Флуктуация фермионов не велика и максимальна на уровне Ферми.
Для бозонов ,
.
При большой заселенности уровня дисперсия велика
.
Это объясняется взаимной интерференцией волновых пакетов, представляющих отдельные частицы и следующих в случайной последовательности. При интерференции двух волн с равными амплитудами наибольшая амплитуда удваивается, а интенсивность волны и плотность вероятности учетверяются. Наименьшая амплитуда и плотность вероятности равны нулю. В результате дисперсия числа частиц увеличивается. Интерференцией объясняется взаимное «притяжение» бозонов – при тепловом равновесии бозоны перемещаются группами. Фотонные пары с меньшим временным интервалом регистрируются чаще, чем пары с большим интервалом. Вероятность найти тождественные бозоны в близких квантовых состояниях выше, чем вероятность найти нетождественные частицы.
У фермионов перекрытие когерентных пакетов запрещено принципом Паули. Это приводит к взаимному «отталкиванию» фермионов и уменьшает флуктуацию числа частиц.
Корпускулярно-волновой дуализм бозонов. Из теории вероятности известно, что дисперсия аддитивна, если обусловлена независимыми причинами. Это имеет место для бозонов согласно
.
Линейное слагаемое соответствует частицам, их флуктуация является дробовым шумом. Квадратичное слагаемое соответствует интерферирующим волнам, их флуктуация является волновым шумом. Наличие двух вкладов в дисперсию фотонов обнаружил А. Эйнштейн в 1909 г. Он рассматривал этот факт как проявление корпускулярно-волнового дуализма, т. е. совмещения волновых и корпускулярных свойств. При малой энергии, низкой частоте, большой длине волны заселенность состояний бозонов велика , тогда
и система проявляет волновые свойства. При большой энергии, большой частоте, малой длине волны заселенность мала
, тогда
и система проявляет корпускулярные свойства. Для классического идеального газа
, дисперсия мала
. Флуктуация является дробовым шумом, газ проявляет корпускулярные свойства, и ведет себя как множество частиц.