Двухмерный электронный газ
Технологии литографии и молекулярно-лучевой эпитаксии дают возможность создавать полупроводниковые структуры микроскопического размера с заданными свойствами. Микроструктура пространственно ограничивает носители тока пределами потенциальной ямы. Спектр энергии оказывается дискретным. При уменьшении ширины ямы увеличиваются энергии уровней и расстояние между уровнями. Ограничение по одному направлению с размером меньшим длины свободного пробега носителя тока дает двухмерный газ (2D-газ), по двум направлениям – одномерный газ (1D-газ), по трем направлениям – квантовую точку. Состояния с одинаковой энергией, отличающиеся другими квантовыми числами, образуют разрешенную зону. В узком проводнике с малой концентрацией носителей тока уровень Ферми превышает лишь первый уровень ямы, и носители тока при малой температуре заполняют нижнюю зону. При длине проводника, меньшей длины свободного пробега носителя тока, фаза его волновой функции изменяется регулярно без скачков. Волны, разделившиеся и прошедшие разными путями до точки наложения, интерферируют. Такая полупроводниковая структура называется мезоскопической системой пониженной размерности.
Рис. 4.6. Гетероструктура 
:
Примером такой системы, широко используемой для исследования низкоразмерных явлений, является гетероструктура 
, показанная на рис. 4.6. Величина С равна доли атомов галлия, замещенных атомами алюминия в твердом растворе 
. При 
различие периодов кристаллических решеток составляет менее десятой доли процента. При изготовлении гетероструктуры вводятся легирующие примесные атомы Si в 
. Они являются донорами и их помещают на расстоянии в несколько десятков нанометров от границы с 
. Электроны из легированной области мигрируют и скапливаются по другую сторону перехода на дне зоны проводимости . Положительный заряд ионизированных доноров притягивает их к границе. По одну сторону образуется положительный заряд в , по другую – отрицательный заряд в . На дне зоны проводимости GaAs с более узкой запрещенной зоной, чем , находится двухмерный электронный газ, показанный на рисунке серой полосой.
Рис. 4.7. Энергетические зоны в гетероструктуре
Энергетические зоны полупроводников изгибаются, как показано на рис. 4.7, в зоне проводимости возникает потенциальная яма шириной 
с электронным газом. Толщину слоя L и концентрацию электронов можно изменять при помощи дополнительного электрода – затвора на гетероструктуре, размещенного на поверхности , подавая на него потенциал 
. В направлении оси z движение электронов ограничено, вдоль границы они движутся свободно. Такой двухмерный электронный газ имеет высокую подвижность, превышающую подвижность трехмерного газа в на один–два порядка. Это объясняется малой эффективной массой электронов и тем, что легирующие атомы, расположенные неупорядоченно и являющиеся центрами рассеяния, находятся вдали от потенциальной ямы. Рассматриваемую гетероструктуру предложили Лео Есаки и Р. Тсу в 1969 г.
Лео Эсаки, род. 1925 г.
Параметры гетероструктуры при 
, 
:
поверхностная концентрация электронов 
;
эффективная масса 
;
длина волны де Бройля 
;
длина свободного пробега 
;
подвижность 
;
энергия Ферми 
.
Получим химический потенциал и распределение по энергии электрона с учетом поперечного квантования по оси z.
Закон дисперсии в слое имеет вид
,
где 
– импульс в плоскости слоя; 
– квантованная энергия поперечного движения. Для прямоугольной ямы шириной L с непроницаемыми стенками ранее получено 
, где 
– номер зоны поперечного квантования. При малой толщине слоя L обеспечивается
,
и все электроны находятся в нижней зоне 
.
Распределение электронов по энергии. Плотность состояний в пленке на единице площади при 
находим из (П.8.4а)
.
Для распределения Ферми–Дирака
,
получаем число электронов на единице площади с энергией в единичном интервале около значения ε
. (4.31)
Считаем, что все носители заряда находятся в нижней зоне, тогда поверхностная концентрация электронов
. (4.32)
В интеграле заменяем 
и находим
,
получаем
, (4.33)
выражаем химический потенциал
. (4.34)
Химический потенциал растет с увеличением поверхностной концентрации электронов, с уменьшением эффективной массы и слабо зависит от температуры.
Вероятность, что электрон имеет энергию в интервале 
, получаем из (4.31)
. (4.34а)
Вырожденный газ соответствует высокой концентрации, низкой температуре и малой массе частицы. Для примесной n-проводимости GaAs с поверхностной концентрацией 
эффективная масса на дне зоны проводимости 
, тогда уже при комнатной температуре выполняется условие вырождения
. (4.35)
В (4.34) пренебрегаем единицей в круглой скобке
,
получаем
. (4.36)
Химический потенциал вырожденного двухмерного газа линейно зависит от поверхностной концентрации электронов, обратно пропорционален эффективной массе и не зависит от температуры.
Условие, что все электроны находятся в нижней зоне
,
с учетом (4.36) ограничивает концентрацию
. (4.37)
Используя
,
,
из (4.37) находим
.
Для n-GaAs с ограничение на толщину пленки дает 
.
Из (4.36) получаем импульс Ферми
, (4.38)
и самую короткую длину волны де Бройля в газе
.
Учитывая
,
где d – характерное расстояние между частицами, получаем
.
Следовательно, волновые функции соседних частиц перекрываются, существенна интерференция между ними, и газ вырожденный.