Неопределенность и риск в управленческих решениях
Как уже отмечалось, решения могут приниматься в условиях определенности, неопределенности, риска и конфликта (иногда условия конфликта приравниваются к условиям неопределенности). Вопросы принятия решений в условиях определенности были рассмотрены выше. Рассмотрим основные аспекты принятия управленческих решений в условиях неопределенности и риска.
Сущность неопределенности и риска.Принимаемые управленческие решения всегда спроектированы в будущее, поэтому ЛПР в момент принятия решения часто не может с абсолютной уверенностью знать, как будут развиваться события, как будет изменяться ситуация. Иными словами, в момент принятия управленческого решения значителен элемент неопределенности и риска. Риск — это возможная опасность потерь, вытекающая из специфики тех или иных явлений природы и видов деятельности человеческого общества. Это историческая и экономическая категория [7]. Таким образом, принятие решений в условиях риска означает выбор варианта решения в условиях, когда каждое действие приводит к одному из множества возможных частных исходов, причем каждый исход имеет вычисляемую или экспертно определяемую вероятность появления [16].
Как историческая категория риск представляет собой осознанную человеком возможную опасность. Это свидетельствует о том, что риск исторически связан со всем ходом общественного развития.
Как экономическая категория риск представляет собой событие, которое может произойти или не произойти. В случае совершения такого события возможны три экономических результата:
• отрицательный (проигрыш, ущерб, убыток);
• нулевой;
• положительный (выигрыш, выгода, прибыль).
Неопределенность — это неполнота или недостоверность информации об условиях реализации решения, наличие фактора случайности или противодействия [7, 22]. Таким образом, принятие решения в условиях неопределенности означает выбор варианта решения, когда одно или несколько действий имеют своим следствием множество частных исходов, но их вероятности совершенно не известны или не имеют смысла [16].
Способы оценки степени риска.При принятии управленческих решений требуется оценить степень риска и определить его величину.
Степень риска — это вероятность наступления случая потерь, а также размер возможного ущерба от него.
Риск предпринимателя количественно характеризуется субъективной оценкой вероятной (т.е. ожидаемой), величины максимального и минимального дохода (убытка) от данного вложения капитала. При этом, чем больше диапазон между максимальным и минимальным доходом (убытком) при равной вероятности их получения, тем выше степень риска [7].
Риск представляет собой действие в надежде на счастливый исход по принципу «повезет — не повезет». Принимать на себя риск предпринимателя вынуждает прежде всего неопределенность хозяйственной ситуации, т.е. неизвестность условий политической и экономической обстановки, окружающей ту или иную деятельность, и перспектив изменения этих условий. Чем больше неопределенность хозяйственной ситуации при принятии решения, тем больше и степень риска.
Неопределенность хозяйственной ситуации обусловливается следующими факторами: отсутствием полной информации, случайностью, противодействием.
Отсутствие полной информации о хозяйственной ситуации и перспектив ее изменения заставляет предпринимателя искать возможность приобрести недостающую дополнительную информацию, а при отсутствии такой возможности начать действовать наугад, опираясь на свой опыт и интуицию.
Случайность во многом определяет неопределенность хозяйственной ситуации. Случайность — это то, что в сходных условиях происхо лит неодинаково, и поэтому ее заранее нельзя предвидеть и спрогнозировать [7]. Однако при большом количестве наблюдений за случайностями можно обнаружить, что в мире случайностей действуют определенные закономерности. Математический аппарат для изучения этих закономерностей дает теория вероятности. Случайные события становятся предметом теории вероятности только тогда, когда с ними связываются определенные числовые характеристики — их вероятности.
Случайные события в процессе их наблюдения повторяются с определенной частотой. Частота случайного события представляет собой отношение числа появлений этого события к общему числу наблюдений. Частота обычно обладает статистической устойчивостью в том смысле, что при многократном наблюдении ее значения мало меняются. Таким образом, частоты случайного события как бы группируются около некоторого числа. Устойчивость частоты отражает некоторое объективное свойство случайного события, заключающееся в определенной степени его возможности.
Мера объективной возможности случайного события А называется его вероятностью. Именно около числа этой вероятности группируются частоты события А. Вероятность любого события колеблется от 0 до 1,0. Если вероятность равна нулю, то событие считается невозможным. Если же вероятность равна единице, то событие определяется как достоверное. Вероятность позволяет прогнозировать случайные события. Она дает им количественную и качественную характеристику. При этом уровень неопределенности и степень риска уменьшаются. Противодействие также во многом определяет неопределенность хозяйственной ситуации. На любое действие всегда имеется противодействие. К противодействиям относятся катастрофа, пожар и другие природные явления, война, революция, забастовка, различные конфликты в трудовых коллективах, конкуренция, нарушения договорных обязательств, изменение спроса, аварии, кражи и т.п. Предприниматель в процессе своих действий должен выбрать такую стратегию, которая позволит ему уменьшить степень противодействия, что, в свою очередь, снизит и степень риска.
Математический аппарат для выбора стратегии в конфликтных ситуациях дает теория игр. Она позволяет предпринимателю или менеджеру лучше понимать конкурентную обстановку и свести к минимуму степень риска. Анализ с помощью приемов теории игр побуждает предпринимателя (менеджера) рассматривать все возможные альтернативы как своих действий, так и стратегии партнеров, конкурентов. Формализация данного процесса позволяет улучшить понимание проблем в целом. Таким образом, теория игр — собственно наука о риске. Теория игр позволяет решать многие экономические проблемы, связанные с выбором, определением наилучшего положения, подчиненного только некоторым ограничениям, вытекающим из условий самой проблемы.
Риск имеет математически выраженную вероятность наступления потери, которая опирается на статистические данные и может быть рассчитана с достаточно высокой степенью точности.
Чтобы количественно определить величину риска, необходимо знать все возможные последствия какого-нибудь отдельного действия и вероятность самих последствий.
Вероятность — это возможность получения определенного результата. Применительно к экономическим задачам методы теории вероятности сводятся к определению значений вероятности наступления событий и к выбору из возможных событий самого предпочтительного исходя из наибольшей величины математического ожидания. Иначе говоря, математическое ожидание какого-либо события равно абсолютной величине этого события, умноженной на вероятность его наступления.
Например, имеются два варианта вложения капитала. Установлено, что при вложении капитала в мероприятие А получение прибыли в сумме 25 тыс. руб. имеет вероятность 0,6, а при вложении капитала в мероприятие Б получение прибыли в сумме 30 тыс. руб. имеет вероятность 0,4. Тогда ожидаемое получение прибыли от вложения капитала (т.е. математическое ожидание) составит: по мероприятию А — 15 тыс. руб. (25 х 0,6); по мероприятию Б — 12 тыс. руб. (30 х 0,4).
Вероятность наступления события может быть определена с помощью [4]:
• объективного метода, основанного на вычислении частоты, с которой происходит данное событие. Например, если известно, что при вложении капитала в какое-либо мероприятие прибыль в сумме 25 тыс. руб. была получена в 120 случаях из 200, то вероятность получения такой прибыли составляет 0,6 (120: 200);
• субъективного метода, основанного на использовании субъективных критериев, которые базируются на различных предположениях. К таким предположениям могут относиться: суждение оценивающего, его личный опыт, оценка эксперта, мнение финансового консультанта и т.п. Когда вероятность определяется субъективно, то разные люди могут устанавливать разное ее значение для одного и того же события и делать различный выбор. Важное место при этом занимает прием экспертной оценки, т.е. проведение экспертизы, обработка и использование ее результатов при обосновании значения вероятности. Прием экспертной оценки представляет собой комплекс логических и математике- статистических методов и процедур, связанных с деятельностью эксперта по переработке необходимой для анализа и принятия решений информации. Этот прием экспертной оценки основан на использовании способности специалиста (его знаний, умения, опыта, интуиции и т.п.) находить нужное, наиболее эффективное решение.
Величина риска (степень риска) измеряется двумя критериями.
1) среднее ожидаемое значение;
2) изменчивость (колеблемость) возможного результата. Среднее ожидаемое значение связано с неопределенной ситуацией.
Среднее ожидаемое значение — это средневзвешенное для всех возможных результатов, где вероятность каждого результата используется в качестве частоты или веса соответствующего значения. Среднее ожидаемое значение измеряет результат, который мы ожидаем в среднем.
Например, если известно, что при вложении капитала в мероприятие А из 120 случаев прибыль 25 тыс. руб. была получена в 48 случаях (вероятность 0,4), прибыль 20тыс. руб. была получена в 36 случаях (вероятность 0,3) и прибыль 30 тыс. руб. была получена в 36 случаях (вероятность 0,3), то среднее ожидаемое значение составит 25 тыс. руб. (25 х 0,4 + 20 х 0,3 + 30 х 0,3).
Аналогично можно вычислить, что при вложении капитала в мероприятие Б средняя прибыль составила 30 тыс. руб. (40 х 0,3 + 30 х 0,5 + +• 15 х 0,2). Сравнивая две суммы ожидаемой прибыли при вложении капитала в мероприятия А и Б, можно сделать вывод, что при вложении в мероприятие А величина получаемой прибыли колеблется от 20 до 30 тыс. руб. и средняя величина составляет 25 тыс. руб.; при вложении капитала в мероприятие Б величина получаемой прибыли колеблется от 15 до 40 тыс. руб. и средняя величина составляет 30 тыс. руб. Средняя величина представляет собой обобщенную количественную характеристику и не позволяет принять решения в пользу какого-либо варианта вложения капитала.
Изменчивость возможного результата представляет собой степень отклонения ожидаемого значения от средней величины. Для этого на практике обычно применяют два близко связанных критерия: дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Дисперсия представляет собой среднее взвешенное из квадратов отклонений действительных результатов от средних ожидаемых:
где σ2 — дисперсия;
х — ожидаемое значение для каждого случая наблюдения;
— среднее ожидаемое значение;
п — число случаев наблюдения (частота).
Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле
где σ — среднее квадратическое отклонение.
При равенстве частот имеем частный случай:
Среднее квадратическое отклонение — именованная величина и указывается в тех же единицах, в каких измеряется варьирующий признак. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение — меры абсолютной колеблемости.
Для анализа обычно используют коэффициент вариации. Он представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической и показывает степень отклонения полученных значений:
где V — коэффициент вариации, %;
σ — среднее квадратическое отклонение;
— среднее ожидаемое значение.
Коэффициент вариации — относительная величина. Поэтому на его размер не оказывают влияния абсолютные значения изучаемого показателя. С помощью коэффициента вариации можно сравнивать даже колеблемость признаков, выраженных в разных единицах измерения. Коэффициент вариации может изменяться от 0 до 100 %. Чем больше коэффициент, тем сильнее колеблемость. Установлена следующая качественная оценка различных значений коэффициента вариации [7]:
• до 10 % — слабая колеблемость;
• 10—25 % — умеренная колеблемость;
• свыше 25 % — высокая колеблемость.
Можно применять также несколько упрощенный метод определения степени риска [7].
Количественно риск инвестора характеризуется оценкой им вероятной величины максимального и минимального доходов. Чем больше диапазон между этими величинами при равной их вероятности, тем выше степень риска.
Поэтому для расчета дисперсии, среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации можно использовать следующие формулы:
где σ2 — дисперсия;
Pmax — вероятность получения максимального дохода (прибыли, рентабельности);
хтах — максимальная величина дохода (прибыли, рентабельности);
— средняя ожидаемая величина дохода (прибыли, рентабельности);
Pmin — вероятность получения минимального дохода (прибыли, рентабельности);
xmin —минимальная величина дохода (прибыли, рентабельности);
σ — среднее квадратическое отклонение;
V — коэффициент вариации.
Риском можно управлять, т.е. использовать различные приемы, позволяющие в определенной степени прогнозировать наступление рискового события и принимать меры к снижению степени риска. Эффективность организации управления риском во многом определяется классификацией риска.
Классификация рисков.Под классификацией рисков следует понимать распределение риска на конкретные группы по определенным признакам для достижения поставленных целей. Научно обоснованная классификация рисков позволяет четко определить место каждого риска в их общей системе. Она создает возможности для эффективного применения соответствующих методов, приемов управления риском, так как каждому риску соответствует своя система приемов управления риском.
Квалификационная система рисков включает группу, категории, виды, подвиды и разновидности рисков [7] (рис. 4.1). В зависимости от возможного результата (рискового события) риски можно поделить на две большие группы:
1) чистые риски означают возможность получения отрицательного или нулевого результата. К этим рискам относятся риски: природно-естественные, экологические, политические, транспортные и часть коммерческих (имущественные, производственные, торговые);
2) спекулятивные риски выражаются в возможности получения как положительного, так и отрицательного результата. К этим рискам относятся финансовые риски, представляющие собой часть коммерческих рисков.
По основной причине возникновения (базисный или природный риск) риски делятся на следующие категории:
• природно-естественные риски — риски, связанные с проявлением стихийных сил природы (землетрясение, наводнение, буря, пожар, эпидемия и т.п.);
• экологические риски — риски, связанные с загрязнением окружающей среды;
• политические риски — риски, связаные с политической ситуацией в стране и деятельностью государства. Политические риски возникают при нарушении условий производственно-торгового процесса по причинам, непосредственно не зависящим от хозяйствующего субъекта. К политическим рискам относятся:
— невозможность осуществления хозяйственной деятельности вследствие военных действий, революции, обострения внутриполитической ситуации в стране, национализации, конфискации товаров и предприятий, введения эмбарго, из-за отказа нового правительства выполнять принятые его предшественниками обязательства и т.п.;
— введение отсрочки (моратория) на внешние платежи на определенный срок ввиду наступления чрезвычайных обстоятельств (забастовка, война и т.д.);
— неблагоприятное изменение налогового законодательства;
— запрет или ограничение конверсии национальной валюты в валюту платежа (в этом случае обязательство перед экспортерами может быть выполнено в национальной валюте, имеющей ограниченную сферу применения);
• транспортные риски — риски, связанные с перевозками грузов транспортом: автомобильным, морским, речным, железнодорожным, самолетами и т.д.;
• коммерческие риски — опасность потерь в процессе финансово-хозяйственной деятельности. Они означают неопределенность результатов от данной коммерческой сделки.
По структурному признаку коммерческие риски делятся на следующие категории:
• имущественные риски — риски, связанные с вероятностью потерь имущества предпринимателя по причине кражи, диверсии, халатности, перенапряжения технической и технологической систем и т.п.;
• производственные риски — риски, связанные с убытком от остановки производства вследствие воздействия различных факторов и прежде всего с гибелью или повреждением основных и оборотных фондов (оборудование, сырье, транспорт и т.п.), а также риски, связанные с внедрением в производство новой техники и технологии;
• торговые риски — представляют собой риски, связанные с убытком по причине задержки платежей, отказа от платежа в период транспортировки товара, непоставки товара и т.п.;
• финансовые риски — связаны с вероятностью потерь финансовых ресурсов (т.е. денежных средств). К ним относятся:
— риски, связанные с покупательной способностью денег: инфляционный риск — риск того, что при росте инфляции (обесценение денег и, соответственно, рост цен) получаемые денежные доходы обесцениваются с точки зрения реальной покупательной способности быстрее, чем растут; дефляционный риск — риск того, что при росте дефляции (снижение цен и, соответственно, увеличение покупательной способности денег) происходят падение уровня цен, ухудшение экономических условий предпринимательства и снижение доходов; валютные риски — опасность валютных потерь, связанных с изменением курса одной иностранной валюты по отношению к другой, при проведении внешнеэкономических, кредитных и других валютных операций; риски ликвидности — риски, связанные с возможностью потерь при реализации ценных бумаг или других товаров из-за изменения оценки их качества и потребительной стоимости;
— риски, связанные с вложением капитала (инвестиционные риски): риск упущенной выгоды — риск наступления косвенного (побочного) финансового ущерба (неполученная прибыль) в результате неосуществления какого-либо мероприятия (например, страхование, хеджирование, инвестирование и т.п.); риск снижения доходности — риск, возникающий в результате уменьшения размера процентов и дивидендов по портфельным инвестициям, по вкладам и кредитам, а также по портфельным инвестициям, связанным с формированием инвестиционного портфеля, представляющим собой приобретение ценных бумаг и других активов (сюда могут относиться: процентные риски — опасность потерь коммерческими банками, кредитными учреждениями, инвестиционными институтами, селинговыми компаниями в результате превышения процентных ставок, выплачиваемых ими по привлеченным средствам, над ставками по предоставленным кредитам, риски потерь, которые могут понести инвесторы в связи с изменением дивидендов по акциям, процентных ставок на рынке по облигациям, сертификатам и другим ценным бумагам; кредитный риск — опасность неуплаты заемщиком основного долга и процентов, причитающихся кредитору, риск такого события, при котором эмитент, выпустивший долговые ценные бумаги, окажется не в состоянии выплачивать проценты по ним или основную сумму долга); риски прямых финансовых потерь — биржевые риски, представляющие собой опасность потерь от биржевых сделок (риск неплатежа по коммерческим сделкам, риск неплатежа комиссионного вознаграждения брокерской фирмы и т.п.); селективный риск (лат. selektio — выбор, отбор) — риск неправильного выбора видов вложения капитала, вида ценных бумаг для инвестирования в сравнении с другими видами ценных бумаг при формировании инвестиционного портфеля; риск банкротства — опасность в результате неправильного выбора вложения капитала полной потери предпринимателем собственного капитала и его неспособности рассчитываться по взятым на себя обязательствам.
Управление рисками при принятии управленческих решений.При принятии управленческих решений в условиях неопределенности и риска необходимо проводить анализ рисков. Анализ рисков подразделяется на два взаимно дополняющих друг друга шша: качественный, главная задача которого состоит в определении факторов риска и обстоятельств, приводящих к рисковым ситуациям, и количественный, позволяющий вычислить величину отдельных рисков и риска проекта в целом. Исследование риска целесообразно проводить в следующей последовательности [25]:
• выявление объективных и субъективных факторов, влияющих на конкретный вид риска;
• анализ выявленных факторов;
• оценка конкретного вида риска с финансовых позиций, определяющая либо финансовую состоятельность проекта, либо его экономическую целесообразность;
• установка допустимого уровня риска;
• анализ отдельных операций по выбранному уровню риска;
• разработка мероприятий по снижению риска при принятии управленческого решения.
После проведения анализа рисков в процессе разработки управленческого решения используются специальные приемы управления риском.
Вопросами теории управления риском занимается риск-менеджмент. Риск-менеджмент — специальная форма предпринимательской деятельности. Осуществляют ее профессиональные институты специалистов, страховые компании, финансовые менеджеры.
Одна из основных сфер риск-менеджмента — страховой рынок, где объектом купли-продажи выступают страховые услуги, предоставляемые организациям и отдельным гражданам преимущественно страховыми компаниями и негосударственными пенсионными фондами.
Основные приемы риск-менеджмента при принятии управленческих решений:
• избежание риска — уклонения от мероприятия, связанного с риском;
• удержание риска — оставление риска за инвестором (предполагая покрытие возможных убытков за счет резервных средств инвестора);
• передача риска — передача ответственности за риск, например, страховой компании;
• снижение степени риска — уменьшение вероятности потерь и сокращение ожидаемого их объема.
Наиболее распространенные приемы для снижения степени риска:
• диверсификация;
• получение дополнительной информации о ситуации принятия решения;
• лимитирование за счет установления предельных сумм расходов, продажи, кредита;
• самострахование за счет создания натуральных и денежных резервных (страховых) фондов;
• страхование.
Таким образом, в процессе разработки и принятия управленческих решений в условиях неопределенности и риска менеджер сталкивается с необходимостью проведения анализа существующих рисков, а также осуществления мероприятий, связанных с избежанием, удержанием, передачей рисков или снижения их степени. Кроме того, в условиях неопределенности и риска менеджеру необходимо использовать специальные приемы и методы разработки и принятия решений, которые рассмотрены далее.
Теория игр
Применение теории игр в практике управления. Теория игр все шире проникает в практику экономических решений и исследований. Ее можно рассматривать как инструмент, помогающий повысить эффективность плановых и управленческих решений.
Обычно теорию игр определяют как раздел математики для изучения конфликтных ситуаций. Это значит, что можно выработать оптимальные правила поведения каждой стороны, участвующей в решении конфликтной ситуации [16].
В экономике аппарат математического анализа, занимающийся^п-ределением экстремумов функций, оказался недостаточным. Появилась необходимость изучения так называемых оптимальных минимаксных и максиминных решений.
Таким образом, теорию игр можно рассматривать как новый раздел оптимизационного подхода, позволяющего решать новые задачи при принятии решений.
Основные понятия теории игр. В теории используются следующие понятия:
• игра — упрощенная формализованная модель реальной конфликтной ситуации. Математически формализация означает, что выработаны определенные правила действия сторон в процессе игры: варианты действия сторон; исход игры приданном варианте действия; объем информации каждой стороны о поведении всех других сторон. Одну играющую сторону при исследовании операций может представлять коллектив, преследующий некоторую общую цель. Однако разные члены коллектива могут быть по-разному информированы об обстановке проведения игры. Выигрыш или проигрыш сторон оценивается численно, другие случаи в теории игр не рассматриваются, хотя не всякий выигрыш в действительности можно оценивать количественно;
• игрок — одна из сторон в игровой ситуации;
• стратегия игрока — правила действия игрока в каждой из возможных ситуаций игры. Существуют игровые системы управления — системы, процесс управления в которых рассматривается как игра;
• платежная матрица — матрица эффективности, матрица игры. Она включает все значения выигрышей (в конечной игре). Пусть игрок 1 имеет m стратегий Аi а игрок 2 — n стратегий Bj (i = ; j =
). Игра может быть названа игрой m х n. Представим матрицу эффективности игрЫдвух лиц с нулевой суммой, сопроводив ее необходимыми обозначениями (табл. 4.1) [16].
Таблица 4.1
Платежная матрица
Игрок 2 | ||||||
Игрок 2 | B1 | B2 | … | Bn | αi | |
A1 | a11 | a12 | … | a1n | a1 | |
A2 | a12 | a21 | … | a2n | a12 | |
… | … | … | … | … | … | |
Am | am1 | am2 | … | a11 | a11 | |
βj | β1 | β2 | … | βj |
В данной матрице элементы аij - (значения выигрышей игрока) могут означать и математическое ожидание выигрыша (среднее значение), если выигрыш —• случайная величина. Величины αi = и βj, j =
— соответственно минимальные значения элементов atj по строкам и максимальные — по столбцам. Их содержательный смысл будет отражен ниже.
В теории игр не существует установившейся классификации видов игр. Однако по определенным признакам некоторые виды можно выделить [16, 52].
Классификация игр. Количество игроков. Если в игре участвуют две стороны, то ее называют игрой двух лиц. Если число сторон больше двух, ее относят к игре п игроков. Наибольший интерес вызывают игры двух лиц. Они и математически более глубоко проработаны, и в практических приложениях имеют наиболее обширную библиографию.
Количество стратегий игры. По этому критерию игры делятся на конечные и бесконечные. В конечной игре каждый из игроков имеет конечное число возможных стратегий. Если хотя бы один из игроков имеет бесконечное число возможных стратегий, игра называется бесконечной.
Взаимоотношения сторон. Согласно данному критерию игры делятся на следующие категории:
• бескоалиционные — игроки не имеют право вступать в соглашения, образовывать коалиции;
• колиационные — игроки могут вступать в соглашения, создавать коалиции;
• кооперативные — игры, в которых заранее определены коалиции. Характер выигрышей. Этот критерий позволяет выделить:
• игры с нулевой суммой — предусматривают условие: сумма выигрышей всех игроков в каждой партии равна нулю. Игры двух игроков с нулевой суммой относят к классу антагонистических. Естественно, выигрыш одного игрока при этом равен проигрышу другого. Примерами игр с нулевой суммой служат многие экономические задачи. В них общий капитал всех игроков перераспределяется между игроками, но не меняется; игры с ненулевой суммой, к которым можно отнести большое количество экономических задач. Например, в результате торговых взаимоотношений стран, участвующих в игре, все участники могут оказаться в выигрыше. Игры, за право участия в которых нужно вносить взнос, также игры с ненулевой суммой.
Вид функции выигрышей. По этому критерию игры выделяют:
• матричные — конечные игры двух игроков с нулевой суммой. В общем случае платежная матрица таких игр прямоугольная. Номер строки матрицы соответствует номеру стратегии, применяемой игроком 1. Номер столбца соответствует номеру стратегии игрока 2. Выигрыш игрока 1 — элемент матрицы. Выигрыш игрока 2 равен проигрышу игрока 1. Матричные игры всегда имеют решения в смешанных стратегиях. Они могут быть решены методами линейного программирования;
• биматричные — конечные игры двух игроков с ненулевой суммой. Выигрыши каждого игрока задаются своей матрицей, в которой строка соответствует стратегии игрока 1, а столбец — стратегии игрока 2. Однако
элемент первой матрицы показывает выигрыш игрока 1, а элемент второй матрицы — выигрыш игрока 2. Для биматричных игр, также как и для матричных, разработана теория оптимального поведения игроков;
• непрерывные — игры, в которых функция выигрышей каждого игрока в зависимости от стратегий непрерывна;
• выпуклые — игры, в которых функция выигрышей каждого игрока выпуклая;
• сепарабельные — игры, в которых функция выигрышей может быть разделена на сумму произведений функций одного аргумента.
Количество ходов. Согласно этому критерию игры можно выделить:
• одношаговые — игры, заканчивающиеся после одного хода каждого игрока. Так, в матричной игре после одного хода каждого из игроков происходит распределение выигрышей;
• многошаговые игры — бывают позиционными, стохастическими, дифференциальными и др.
Информированность сторон. Поданному критерию различают:
• игры с полной информацией — каждый игрок на каждом ходу игры знает все стратегии, ранее примененные другими игроками на предыдущих ходах. Игра с полной информацией всегда имеет решение. Решением будет седловая точка при чистых стратегиях;
• игры с неполной информацией — игроку известны не все стратегии предыдущих ходов других игроков.
Степень неполноты информации. По этому критерию игры подразделяются на статистические (в условиях частичной неопределенности) и стратегические (в условиях полной неопределенности, см. ниже). Игры с природой часто относят к статистическим играм. В статистической игре имеется возможность получения информации на основе статистического эксперимента, при котором вычисляется или оценивается распределение вероятностей состояний (стратегий) природы. С теорией статистических игр тесно связана теория принятия экономических решений.
Оценки игры.Рассмотрим матричную игру, представленную матри-цей выигрышей т х n, где число строк i = , а число столбцов j =
(см. табл. 4.1). Применим принцип получения максимального гарантированного результата при наихудших условиях. Игрок 1 стремится принять такую стратегию, которая должна обеспечить максимальный проигрыш игрока 2. Соответственно игрок 2 стремится принять стратегию, обеспечивающую минимальный выигрыш игрока 1. Рассмотрим оба этих подхода.
Подход игрока 1. Он должен получить максимальный гарантированный результат при наихудших условиях. Значит, при выборе своей чистой стратегии, отвечающей этим условиям, он должен выбрать гарантированный результат в наихудших условиях, т.е. наименьшее значение своего выигрыша aij, которое обозначим
Чтобы этот гарантированный результат в наихудших условиях был максимальным, нужно из всех αi, выбрать наибольшее значение. Обозначим его α и назовем чистой нижней ценой игры (максимин):
Таким образом, максиминной стратегии отвечает строка матицы, которой соответствует элемент α. Какие бы стратегии ни применял игрок 2, игрок 1 максиминной чистой стратегией гарантировал себе выигрыш, не меньший чем α. Таково оптимальное поведение игрока 1.
Подход игрока 2. Своими оптимальными стратегиями он стремится уменьшить выигрыш игрока 1, поэтому при каждой j-й чистой стратегии он отыскивает величину своего максимального проигрыша:
в каждом j-м столбце, т.е. определяет максимальный выигрыш игрока 1, если игрок 2 применит j-ю чистую стратегию. Из всех своих n j-x чистых стратегий он отыскивает такую, при которой игрок 1 получит минимальный выигрыш, т.е. определяет чистую верхнюю цену игры (мини-макс):
Чистая верхняя цена игры показывает, какой максимальный выигрыш может гарантировать игрок 1, применяя свои чистые стратегии, — выигрыш, не меньший, чем α. Игрок 2 за счет указанного выше выбора своих чистых стратегий не допустит, чтобы игрок 1 мог получить выигрыш, больший, чем .
Таким образом, минимаксная стратегия отображается столбцом платежной матрицы, в котором находится элемент (см. табл. 4.1). Это оптимальная чистая гарантирующая стратегия игрока 2, если он ничего не знает о действиях игрока 1.
Чистая цена игры v — цена данной игры, если нижняя и верхняя ее цены совпадают:
В этом случае игра называется игрой с седловой точкой