Розв’язування систем трьох лінійних рівнянь за формулами Крамера. Однорідні системи
Нехай задана система
з якої необхідно знайти 
при відомих інших елементах.
Складемо визначник системи із коефіцієнтів при невідомих
Домножимо почленно кожне з рівнянь відповідно на 
- алгебраїчні доповнення елементів першого стовпця (коефіцієнтів при х) і додамо всі три рівності. Отримаємо:
За теоремою про розклад коефіцієнт при х дорівнює 
. Коефіцієнти при 
будуть рівними нулю за теоремою анулювання. Права частина рівності за теоремою про заміщення дає новий визначник, який називають допоміжним і позначають
Після цього остання рівність запишеться
(2)
Для знаходження 
домножимо кожне з рівнянь початкової системи в першому випадку відповідно на 
в другому - на 
і додамо. В наслідок перетворень отримаємо:
де
Якщо 
, то в результаті отримуємо формули Крамера:
Окремим випадком системи (1) є однорідна система
(3)
Серед розв’язків однорідної системи можуть бути як нульові розв’язки 
, так і розв’язки відмінні від нуля.
Теорема 1. Якщо визначник 
однорідної системи (3) відмінний від нуля ( 
), то така система має тільки нульовий розв’язок.
Дійсно, за властивістю 4 в 1.3. допоміжні визначники 
, як такі, що містять нульовий стовпець, тому за формулами Крамера .
Теорема 2. Якщо однорідна система має відмінний від нуля розв’язок, то її визначник необхідно дорівнює нулю 
.
Дійсно, нехай одне з невідомих, наприклад х, відмінне від нуля. Згідно з однорідністю 
. Рівність (2) запишеться 
. Звідки випливає, що 
.