Дифференциал функции и его геометрический смысл
Пусть 
дифференцируема на 
, 
– производная в некоторой точке отрезка.
Отношение 
при 
стремится к определенному числу 
. Следовательно, отличается от производной на бесконечно малую величину 
, то есть 
. 
при , умножим на 
:
. (1)
, при постоянном 
и переменном 
– бесконечно малая величина первого порядка относительно . Произведение 
– бесконечно малая высшего порядка относительно , так как
.
состоит из двух слагаемых, из которых первое слагаемое есть (при ), так называемая, главная часть приращения, линейная относительно . Произведение называется дифференциалом функции. Обозначение 
или 
.
.
Пример. Найти дифференциал функции 
.
Решение.
,
, 
.
Дифференциал 
независимого переменного сравнивается с его приращением .
,
,
. (2)
Таким образом, приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую высшего порядка относительно . Если , то является бесконечно малой высшего порядка и относительно 
и
.
,
то есть
.
Выясним геометрический смысл дифференциала, для этого проведем к графику функции в точке 
касательную, 
– угол с осью 
(рис. 5).
|
| Рисунок 5 – |
Рассмотрим ординату этой касательной для точки 
. Отрезок 
является ординатой точки 
, ординатой касательной для точки 
. Назовем приращение ординаты касательной. Покажем, что оно равно 
.
Из треугольника 
: 
, 
. Согласно геометрическому смыслу производной, 
, следовательно,
.
Дифференциал функции в точке 
равен приращению ординаты касательной.
Пусть 
и 
дифференцируемые функции. Тогда
,
,
, 
.
.
Пример. Найти дифференциал функции 
.
Решение.
.
Инвариантность формы дифференциала
Если – независимая переменная, то дифференциал имеет следующую форму:
.
Покажем, что эта форма сохраняется, когда – функция. Действительно, если , 
, то 
– сложная функция.
,
,
что и требовалось доказать.
Дифференциал сложной функции , для которой , имеет такой же вид , как если бы аргумент был независимой переменной. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала.