Условия возрастания и убывания функции
Функция 
, определенная на сегменте (или интервале), называется возрастающей на этом сегменте (интервале), если из неравенства
, 
( 
),
следует, что
.
, 
,
и 
имеют одинаковые знаки, следовательно, 
.
Функция , определенная на сегменте 
(или интервале 
), называется убывающей на этом сегменте (интервале), если из неравенства
, 
( ),
следует, что
.
, ,
и имеют разные знаки, следовательно, 
.
Теорема 1.1. Если , имеющая производную на , возрастает, то 
(не отрицательна) на .
1.2. Если непрерывна и дифференцируема в , причем 
, 
, то 
возрастает на .
Доказательство.
1) 
возрастает на , придадим 
приращение 
и рассмотрим
. (1)
Так как возрастает, то 
при 
и 
при 
. Но формула (1) > 0 , следовательно,
,
то есть 
, что и требовалось доказать.
2) Пусть 
при любом 
. Рассмотрим 
и 
. 
по теореме Лагранжа о конечных приращениях.
, 
.
Так как , то 
, 
– возрастает.
Теорема 2.1. Если убывает на , то 
.
2.2. Если 
в , то убывает на отрезке ( непрерывна и дифференцируема).
Замечание. Если на возрастает, то касательная к в любой точке на этом отрезке образует с 
острый угол 
или в отдельных случаях горизонталь:
, 
.
Если убывает, то угол тупой (или в отдельных точках касательная параллельна оси ): 
.
Функция только возрастающая или только убывающая называется монотонно возрастающей или монотонно убывающей.
Пример. Определить интервалы монотонности 
.
Решение.
,
, 
,
и 
– возрастает;
, 
– убывает (рис. 8).