Упражнения. В следующих задачах установить область определения и найти линии и поверхности уровня скалярного поля:
В следующих задачах установить область определения и найти линии и поверхности уровня скалярного поля:
10. 
.
11. 
.
12. 
.
13. 
.
14. 
.
15. Найти градиент скалярного поля:
а) 
.
б) 
.
в) 
.
16. Найти векторные линии сферически симметричного поля.
17. Найти векторные линии поля 
.
18. Найти векторные линии поля 
.
19. Найти уравнения семейства векторных линий поля: 
20. Найти векторные линии поля 
( 
– векторное произведение ).
21. Найти силовые линии:
а) магнитного поля прямолинейного тока;
б) гравитационного поля точечного источника.
22. Поток несжимаемой жидкости имеет потенциал 
. Найти траектории движения частиц жидкости.
23. В точке (0;0) найти направление, в котором функция z=xsiny + ycosx изменяется быстрее всего.
24.1) Найти наибольшую крутизну подъема поверхности z=ln(x2+4y2) в точке (6; 4; ln100).
2) Найти наибольшую крутизну подъема поверхности z=xy в точке (2; 2; 4).
25. Каково направление наибольшего изменения функции
j(x,y,z)=xsinz – ycosz в начале координат?
Рис. 1.
26.1) 
. Найти угол между градиентами этой функции в точках (1; 1) и (3; 4).
2) Даны функции 
. Найти угол
между градиентами этих функций в точке (3; 4).