Примеры. 66. Проверить, что поле =(y+z) + (z+x) +(x+y) является потенциальным, и найти его потенциал
66. Проверить, что поле 
=(y+z) 
+ (z+x) 
+(x+y) 
является потенциальным, и найти его потенциал.
Решение. Поле определено во всем пространстве, т.е. в односвязной области, поэтому достаточно проверить, что rot =0. Имеем:
rot = 
=(1–1) +(1–1) +(1–1) = 
,
что и доказывает потенциальный характер поля .
Найдем потенциал двумя способами.
1 способ.
Для нахождения потенциала воспользуемся формулой (*), беря в качестве М0 начало координат:
2 способ.
Будем снова считать М0(0,0,0).
Пусть 
=x +y +z – радиус-вектор точки М(x,y,z), а точка N пробегает отрезок M0М; ее радиус‑вектор 
. Точка N имеет координаты tx, ty, tz.
Отсюда d 
= dt. Положим 
.
Для рассматриваемого поля (t)=t(y+z) + t(z+x) +t(x+y) .
( (t), )=t(y+z)x+t(z+x)y+t(x+y)z=2t(xy+yz+zx).
Следовательно, 
=(xy+yz+zx) 
= xy+yz+zx.
Ответ: xy+yz+zx.
67. Доказать, что циркуляция потенциального поля по любому замкнутому контуру равна нулю.
Решение: Пусть - потенциальное поле и (L) - замкнутый контур, началом и концом которого является точка М(М=М0).
Тогда 
, что и требовалось доказать.