Линейная алгебра
Тренировочные задачи и упражнения
Специальность ИВТ
Дисциплина алгебра и геометрия
Семестр
2012-2013
Модуль 1
Линейная алгебра.
1.1. Даны матрицы А = 
; B = 
, найти 2А + В.
Решение. 2А = 
, 2А + В = 
.
1.2. Даны матрицы А = 
, В = 
, С = 
и число a = 2. Найти АТВ+aС.
Решение. AT = 
;
ATB = × = 
= 
; aC = 
;
АТВ+aС = + = 
.
1.3 Вычислить определитель матрицы А = 
Решение: 
= -5 + 18 + 6 = 19.(раскладывали по 1 строке.)
1.4. Найти значение матричного многочлена 
если 
.
Решение.
.
1.5. Определить ранг матрицы 
.
Решение:
~1 стр.+3 стр ~ 
~ 1стр.-2стр*4~ 
~1стр-2стр, нулевую отбрасываем~ 
, 
rang (А) = 2.
1.6 Определить след, норму матрицы 
.
Решение:
(сумма диагональных элементов)
1.7 Решить систему уравнений матричным методом:
Решение:
Х = 
, B = 
, A = 
Найдем обратную матрицу А-1.
D = det A = 
5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.
А11 = 
= -5; А21 = - 
= -1; А31 = 
= -1;
А12 = - 
А22 = 
А32 = - 
А13 = 
А23 = - 
А33 = 
A-1 = 
;
Сделаем проверку:
A×A-1 = 
=E.
Находим матрицу Х.
Х = = А-1В = 
× = 
.
Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.
1.8. Найти число обусловленности матрицы A =
Решение.
Ранее нашли. A-1 = ;
;
1.9 Найти решение системы уравнений Методом Крамера:
Решение:
D = 
= 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;
Dx = 
= (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.
x = Dx/D = 1;
Dy = 
= 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.
y = Dy/D = 2;
Dz = 
= 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.
z = Dz/D = 3.
1.10 Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
Решение:
Составим расширенную матрицу системы и преобразуем при помощи элементарных преобразований.
А* = 
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
, откуда получаем: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.
1.11. Найти собственные числа и собственные векторы оператора, заданного матрицей 
.
Решение.
Составим характеристическое уравнение 
имеет вид 
, получаем 
- собственные числа.
Решая для каждого собственного числа систему 
находим соответствующие им собственные векторы 
, 
.
1.12.. Найдите собственные числа и собственные векторы оператора, заданного матрицей 
.
Решение.
Составляем характеристическую матрицу 
:
Решаем характеристическое уравнение 
.
Подбором находим один из корней -1.
Так как число -1 является корнем многочлена 
, то многочлен 
делится на разность 
, то есть 
, где 
- многочлен. Выделим в характеристическом многочлене множитель : 
Находим корни трехчлена 
. Они равны -1 и 3. Таким образом,
- корень кратности 2 , 
- простой корень. Итак, собственные числа матрицы 
равны , . Найдем соответствующие им собственные векторы.
Пусть , тогда для собственного вектора X получаем матричное уравнение 
,
что соответствует системе уравнений
Решаем ее методом Гаусса. Выписываем расширенную матрицу системы
.
Первую строку, умноженную на числа -2 и -3 прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам
.
Меняем местами вторую и третью строки
.
Возвращаемся к системе уравнений 
.
Ранг матрицы 
равен 2. Число уравнений равно 2 (число линейно независимых строк), а число неизвестных 3. Поэтому фундаментальная система содержит только одно (3-2=1) решение. Переменные 
оставляем в левой части, а переменную 
переносим в правую часть
.
Полагаем 
, находим 
. Итак, собственному числу соответствует собственный вектор 
.
Пусть , тогда для собственного вектора 
получаем матричное уравнение
,
что соответствует системе уравнений
.
Решаем ее методом Гаусса. Выписываем расширенную матрицу
Первую строку умножаем на числа 2 и 3 и прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам
Вторую строку умножаем на -1 и прибавляем к третьей
Возвращаемся к системе уравнений
Ранг матрицы равен 2. Число уравнений равно 2 (число линейно независимых строк), а число неизвестных 3. Поэтому фундаментальная система содержит только одно (3-2=1) решение. Переменные оставляем в левой части, а переменную переносим в правую часть
.
Полагаем , находим 
. Итак, собственному числу соответствует собственный вектор 
.
. Чтобы избавиться от дроби, умножим собственный вектор на 2, получим собственный вектор с тем же самым собственным числом. В итоге собственному числу соответствует собственный вектор 
.
1.13. Найти фундаментальную систему решений
Решение.
1. В системе выражаем r – базисных переменных (с отличным от нуля базисным минором) через свободные.
~ 
r(A) = r = 2
n = 4 k = n – r = 2
Фундаментальная система решений имеет k = 2
- базисные
- свободные
2. Поочередно заменяем n – r свободных переменных строками единичной матрицы 
.
1) 
2) 
фундаментальная система решений 
Общее решение
.