Векторная алгебра
2.1 Даны векторы 
(1; 2; 3), 
(-1; 0; 3), 
(2; 1; -1) и 
(3; 2; 2) в некотором базисе. Показать, что векторы , и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение. Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему:
линейно независимы.
Тогда 
.
Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля.
Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.
D1 = 
;
D2 = 
D3 = 
Итого, координаты вектора в базисе , , : = { -1/4, 7/4, 5/2}.
2.2 Найти (5 + 3 )(2 - ), если 
Решение.
10 × - 5 × + 6 × - 3 × = 10 
,
т.к. 
.
2.3 Найти угол между векторами и , если 
.
Решение.
= (1, 2, 3), = (6, 4, -2)
× = 6 + 8 – 6 = 8:
.
cosj = 
2.4 Найти векторное произведение векторов 
и
.
Решение.
= (2, 5, 1); = (1, 2, -3)
.
2.5 Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3), С(0, 1, 0).
Решение.
2.6 Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 
, если 
Решение.
(ед2).
2.7 Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.
Решение.
Найдем координаты векторов: 
Найдем смешанное произведение полученных векторов:
,
Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.
2.8 Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0;0;1), B(2;3;5), C(6;2;3), D(3;7;2).
Решение.
Найдем координаты векторов: 
Объем пирамиды 
Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.
Sосн = 
(ед2)
Т.к. V = 
; 
(ед)
2.9. Найти координаты вектора 
в пространстве R3 -- трехмерном векторном пространстве, в новом базисе 
, 
, 
Решение.
Выпишем матрицу перехода, ее столбцы -- это координаты новых базисных векторов
Пусть 
- координатный столбец вектора 
в новом базисе. Тогда 
, откуда 
Находим определитель 
Находим алгебраические дополнения и обратную матрицу
.
Находим координаты вектора 
.
Таким образом, новые координаты вектора : 
, 
Тот же самый результат можно было получить, записав систему уравнений
Решив эту систему, например, методом Гаусса, найдем новые координаты .