Комплексные числа
5.1Записать комплексное число 
в тригонометрической и показательной формах
Решение.
так как абсцисса отрицательна, а ордината положительна, то точка лежит во второй четверти.
, 
,
, т.е. 
.
Поэтому 
.
5.2. Записать комплексное число 
в тригонометрической и показательной формах
Решение.
,
, 
,
т.е. 
и 
.
5.3. Выполнить следующие операции над комплексными числами.
Решение.
1) 
2) 
3) 
5.4. Найти 
.
Решение.
Запишем сначала число 
в тригонометрической форме:
; 
, 
.
По формуле Муавра имеем
5.5 Найти частное 
.
Решение: 
.
5.6. Найти 
.
Решение. Запишем подкоренное выражение в тригонометрической форме 
.
Откуда получаем три значения корня
при 
,
при 
,
при 
.
На комплексной плоскости найденные значения корня представляют равноотстоящие друг от друга точки 
, 
, 
, расположенные на окружности радиуса 
.
5.7. Изобразить на рисунке множество точек 
комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: 
Решение:
1) Запишем 
в алгебраической форме 
, тогда 
. Найдем 
. Тогда
(возведем в квадрат),
.
- окружность с центром 
и радиусом 2.
Неравенство 
задает множество точек, лежащих за пределами окружности.
- окружность с центром и радиусом 4. Неравенство 
задает множество точек, лежащих внутри окружности.
2) 
, т.е. получаем неравенства 
.
Изобразим полученные множества точек.
Решением является пересечение заштрихованных областей.
5.8. Найти все корни уравнения 
.
Решение. .
.
.
5.9. Доказать, что если число 
является чисто мнимым, то 
.
Решение. По условию 
, где 
- действительное число. Тогда
, 
, 
5.10. Решите уравнение 
.
Решение: , 
. Тогда получим уравнение
Из определения равенства комплексных чисел следует
, 
, 
, 
.
Следовательно, 
.