Степеневий ряд. Радіус збіжності степеневого ряду
Ряд виду
(8)
називається степеневим рядом. Числа 
називаються коефіцієнтами ряду (8).
Сумою ряду (8) є деяка функція 
, яка визначена в області збіжності цього ряду. Якщо ряд (8) збігається не при всіх значеннях х (і не лише за х=0), тоді 
, що ряд абсолютно збігається при 
і розбігається при 
називається інтервалом збіжності степеневого ряду. Число R називається його радіусом збіжності, який визначається за формулою Даламбера:
. (9)
При 
(на кінцях інтервалу збіжності) ряд (8) може збігатися або розбігатися (потрібні додаткові дослідження ряду).
Приклад 1. Дослідити ряд 
.
За формулою Даламбера маємо: 
. Отже, даний ряд збігається при 
.
Дослідимо поведінку ряду на кінцях інтервалу збіжності. При 
отримуємо гармонічний ряд 
, який розбігається, а при 
ряд 
, який за ознакою Лейбніца, збігається. У результаті, степеневий ряд збігається при 
.
Приклад 2. Дослідити ряд 
.
Оскільки 
, тоді даний ряд збігається абсолютно на всій числовій прямій: 
.
Зауваження. Якщо 
, тоді степеневий ряд розбігається на всій числовій прямій за виключенням лише точки 
.
6. Похідна функції. Її геометричний та фізичний зміст. Диференціал функції. Правила диференціювання
Нехай на деякій множині Х визначена функція 
. Візьмемо будь-яку точку 
і задамо аргументу х у точці 
довільний приріст 
так, щоб точка 
. Тоді функція також отримає приріст 
.
Похідною функції у точці називається границя при 
відношення приросту функції в цій точці до приросту аргументу:
. (10)
Приклад 1. Знайти похідну функції 
у точці .
Тоді, згідно з означенням похідної:
Розглянемо графік функції . Візьмемо на ньому (Рис. 1) точку М з координатами (х,у) і другу точку Р на цьому ж графіку з координатами ( 
). Проведемо січну МР і позначимо через φ, кут утворений січною з додатнім напрямом осі Ох.
у
Т
Р у=f(x)
М φ
φ Q
A B
О х х+Δ х х
α
Рис. 1
Крім того, через точку М проведемо пряму МQ паралельну осі Ох.
Як видно з Рис.1,
бо 
.
Отже, 
.
Якщо тепер приріст буде прямувати до нуля, тобто точка Р буде прямувати до М уздовж кривої , то кут φ прямуватиме до кута α, утвореного дотичною МТ з додатним напрямом осі Ох. А тому
.
Читається так: похідна в даній точці х дорівнює тангенсові кута, утвореного дотичною до кривої в точці М(х,у) з додатнім напрямом осі Ох, тобто дорівнює кутовому коефіцієнту цієї дотичної (геометричний зміст похідної).
Знаючи похідну функції , можна легко побудувати дотичну до кривої, що є графіком даної функції.
Нехай функція 
описує закон руху матеріальної точки М, тобто у – це шлях, який пройшла точка за час t. Тоді 
–шлях, який пройшла точка М за час 
. За проміжок часу 
точка М пройде шлях 
.
 |
0 
s
Тоді границя 
визначає миттєву швидкість 
матеріальної точки в момент часу (фізичний зміст похідної).
Якщо функція має в точці скінченну похідну, тоді кажуть, що вона диференційовна в цій точці і неперервна в ній, причому 
, де величини 
і 
називаються диференціалами функції і незалежної змінної х, відповідно. Таким чином, знайти диференціал функції у деякій точці х означає знайти похідну в цій точці і домножити її на 
, тобто:
. (12)
Якщо функції 
і 
диференційовні в точці х, тоді справедливі такі формули диференціювання:
(13)
Якщо складена функція 
, де 
, має похідну, тоді має місце така формула:
, (14)
Нехай функція 
є оберненою функцією для функції , яка має похідну в точці 
, тоді справедлива така формула:
. (15)
Наведемо таблицю похідних основних елементарних функцій:
1. 
2. 
( степенева функція );
3. 
( логарифмічна функція), 
;
4. 
( показникова функція), 
;
5. 
(тригонометричні функції);
(обернені тригонометричні функції).
Приклад 2. Обчислити похідну функції 
.
Представимо цю складену функцію за допомогою двох простих
.
Тоді за правилом диференціювання складених функцій (14) матимемо
Приклад 3. Обчислити похідну функції 
Представимо цю складену функцію за допомогою двох простих
.
Тоді за правилом диференціювання складених функцій (14) матимемо
