Границя послідовності. Основні теореми про збіжність послідовностей. Границя обмеженої монотонної послідовності. Число е. Границя послідовності в метричному просторі
Означення 1. Сукупність чисел кожне з яких є функцією від натурального аргумента, які розміщенні в порядку зростання номерів назив. числовою послідовністю.
Означення 2. Стале число називається границею послідовності
якщо для будь-якого додатного числа
можна вказати таке натуральне число N, починаючи з якого всі наступні члени послідовності задовольняють нерівність
(n>N). Записують це так:
.
Теорема 1. В будь-якій обмеженої послідовності можна виділити збіжну підпослідовність.
Доведення. Нехай послідовність обмежена, тобто
n є N. Поділимо відрізок
на дві рівні частини. Оскільки кільк членів нескінченна, в одній із половин міститься нескінченність. Позначимо половину через
ділимо відрізок пополам , беремо ту частину в якій є нескінченна кільк. елементів і позначимо цей відрізок
,….
,…
…
Теорема 2. Для того, що послідовність була збіжна необхідно і достатньо щоб для , що n>N, p>0(p є N), слідує нерівність
Доведення: Для того, щоб послідовність була збіжна, то
, виконується
n>N, p>0 (p є N)
з а слідує
n>N, p>0 (p є N)
Нехай ,
що n>N, p>0 (p є N)
.
для будь- яких n>N, p>0.
Достатність. Нехай виконується умова:
Розширимо ці границі, щоб охопити перший N, ця послідовність буде обмеженою
n є N. За попередньою теоремою отримаємо
Т.доведено.
Теорема 2. Якщо послідовність збіжна, то вона має лише одну границю.
Теорема 3. Будь – яка обмежена монотонна послідовність збіжна.
Теорема 4. Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена
Якщо , то послідовність (
) називається нескінченно малою. Прикладом такої послідовності є
Послідовність називається неспадною, якщо для всіх її членів виконується нерівність
, n є N, і зростаючою, якщо для всіх її членів виконується нерівність
, n є N. Послідовність (
) називається незростаючою, якщо для всіх її членів виконується нерівність
, n є N, і спадною, якщо для всіх її членів виконується нерівність
, n є N. Незростаючі, неспадні, зростаючі і спадні послідовності називаються монотонними послідовностями.
Теорема 1-2. Всяка монотонна зростаюча (спадна) обмежена зверху (знизу) має скінчену границю.
Доведення. Доведемо для випадку монотонно зростаючої і обмеженої числової послідовності. n є N. Оскільки послідовність обмежена зверху, то згідно теореми про існування точної верхньої межі і для послідовності
існує точна верхня границя, тобто
За Влас. точної верхньої межі
. По друге :
знайдемо таке значення
, таке, що
В силу монотонності зростання числової послідовності
матимемо, що для будь-якого слідує
. Аналогічно для випадку спадної послідовності обмеженої зверху.
Основна формула для числа е: (1) . З рівності (1) випливає інша рівність (
)
. Доведемо, що
Нехай х- пробігає, яку-небудь послідовність
,
,
. Звідси
. Візьмемо від цього ліву і праву границі, які будуть дорівнювати е. Аналогічно і для
.
- натуральні логарифми.
, М=