Застосування диференціала до наближених обчислень

ГЕОМЕТРИЧНИЙ ТА МЕХАНІЧНИЙ ЗМІСТ ПОХІДНОЇ.ДОТИЧНА ДО КРИВОЇ.

Механічний зміст похідної: похідна S`(t) є величиною миттєвої швидкості в момент t тіла, що рухається за законом S=S(t)/

Геометричний зміст похідної:похідна f`(x) дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції у=f(x) в точці з абсцисою х.

Рівняння дотичної до графіка функції у=f(x) у точці з абсцисою має вигляд

У=

 

ЗАВДАННЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

 

 

1.В якій точці дотична до графіка функції у= паралельна осі абсцис.

 

2.При якому значенні а крива у= перетинає вісь Ох під кутом .

 

3.Скласти рівняння дотичної до параболи у= в точці (3;4).

 

4.Два тіла рухаються прямолінійно : одне згідно закону ,а друге – згідно закону .Знайти момент часу, коли швидкості цих тіл будуть рівними.

ЗВ'ЯЗОК МІЖ НЕПЕРЕРВНІСТЮ ТА ДИФЕРЕНЦІЙОВНІСТЮ ФУНКЦІЙ .

 

ТЕОРЕМА. Якщо функція у=f(х) диференційовна в деякій точці , то вона в цій точці

неперервна.

 

НАСЛІДОК.З цієї теореми випливає , що неперервність функції є необхідною умовою

Диференційовності функції . Це означає, що в точках розриву функція не

має похідних , тобто вона не диференційовна.

ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ . ПРАВИЛО ЛОПІТАЛЯ.

 

Теорема Лагранжа. Якщо функція у=f(x) неперервна на [a,b] і має похідну в усіх точках

інтервала (а;b) , то всередині цього інтервалу існує хоч би одна точка с

( а <c<b) така ,що виконується рівність

 

.

 

Теорема Ролля. Якщо функція у=f(x) неперервна на відрізку [a;b] ,диференційовна в усіх

внутрішніх точках цього відрізка ,а на його кінцях приймає рівні значен-

ня .то похідна f`(x) дорівнює нулю хоч би в одній внутрішній точці с

(a<c<b) цього відрізка.

Правило Лопіталя. Нехай f(x) та g(x)-неперервні та мають похідні в усіх х а з околу точ-

ки х=а ,а в точці а рівні нулю або нескінченності.Тоді границя відно-

шення функцій дорівнює границі відношення їх похідних ,якщо остання

існує, тобто

.

 

Якщо відношення знову є невизначеністю вигляду або і похідні f`(x) та

g`(x) задовільняють умовам правила Лопіталя , то для обчислення границі можна засто-совувати правило Лопіталя вдруге і т. д.

 

Приклад. Обчислити .

В данному випадку та задовольняють умовам правила Лопіталя .Відно-

шення їх є невизначеністю вигляду при х . Застосувавши правило Лопіталя,

одержуємо:

.

 

ЗАВДАННЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ.

 

Обчислити границі:

 

1.

 

2.

 

3.

 

4.

 

Застосування диференціала до наближених обчислень

 

Головна частина приросту функції , яка лінійно залежить від приросту аргумента,називається диференціалом функції , позначається dy і обчислюється згідно

формули dy=f`( ) .

Диференціал використовується для обчислення наближеного значення приросту функції

та наближеного значення фукції f(x+ x) f(x)+dу.

 

Приклад. Користуючись поняттям диференціала функції , знайти наближене значення

приросту функції f(x)= при зміні аргумента х від 5 до 5,01.

Розв’язування. , f`(x)= , f`( 5)= , х=5,01-5=0,01

 

.

 

Приклад.Знайти наближене значення функції у= при х=2,004.

 

Розв’язування. f(x+ =f(2,004)=f(2+0,004) f(2)+dу

f(2)= , f`(x)= , f`(2)=

dу= 0,004=0,002 f(2,004)=2+0,002=2,002.

 

Література. В.Т.Лисичкин , И.Л.Соловейчик. Математика.

В.В.Барковський , Н.В.Барковська . Математика для економістів.

 

 

ІНДИВІДУАЛЬНІ СЕМЕСТРОВІ ЗАВДАННЯ

 

 

Знайти наближене значення приросту функції при заданій зміні аргументу

 

 

1. у= від 3 до 3.1

2. у= при х=3 і

3.у= ln x при х=10 і

4.у= при х=2 і

5. у= при х=3 і

6. у= при х=1 і

7. у= від 1 до 1.02

8. у= при х=2 і

9. у= при х=3 і

10. у= при х=2 і

 

Обчислити значення функцій

 

11. у= при х=10.03

12. у= при х=3.002

13. у= при х=24.99

14. у= при х= 1.96

15.

16. 24.

17. 25.

18. 26.

19. 27.

20. 28.

21. 29.

22. 30.

23.