Первісна та її властивості, невизначений інтеграл. Основні методи інтегрування
Ф-ція F(x) назив. первісною для ф-ції у=f(x), якщо 
=f(x).
Властивості: Якщо 
=f(x), 
(х)= f(x), то
F(x)-Ф(х)=с=const.
Дов.: 
- 
(х)= 
= 
=0.
Множина або сукупність всіх первісних для даної ф-ції f(x) назив. невизначеним інтегралом: 
=F(x)+с.
Властив.:1)Диференціал від інтеграла = підінтегральному виразу: 
; 2)Інтеграл суми =сумі інтегралів; 3)Сталий множник можна винести за знак інтеграла.
Методи інтегрування:
1)Безпосереднього інтегрування(табличне);
2) Підстановки.
П-д: 
;
3) Інтегрування частинами: 
. Методом інтегрування частинами зручно обчислювати такі інтеграли а) 
, 
, де Р(х)-многочлен, який слід взяти за u, а за dv – вираз, що залишився. б) 
, 
,де Р(х)dx слід взяти за dv.
Інтегрув. раціональних ф-й зводиться до інтегрування елементарних дробів: 
і 
(n є N). 
; 
;
Інтегрування біномних диференціалів:
, де m,n,p 
Q,ab 
R.
1)p 
Z, 
, де S=НСК знаменників n,m, dx= 
.
2)p 
Z,p= 
:
a) 
,s-знаменник р.
б) 
, тоді шук. 
, тоді буде така підстановка 
.
Інтегрування тригонометричних ф-й:
1) 
. Універс. підстановка
, 
, 
.
2) 
, 
,
-sinxdx=dt, 
= 
= 
.
3) R(sinx , -cosx), sinx=t, cosxdx=dt.
4) R(-sinx , -cosx)= R(sinx ,cosx).
Визначений інтеграл та умови його існування. Формула Ньютона-Лейбніца, вивчення інтеграла в школі.
Задача про обчислення площі кривої трапеції.
Обчислити площу криволінійної трапеції, обмеженої зверху зверху кривою у=f(х), f(х) є С [а, в], f(х)>=0; знизу віссю 0х, у=0; зліва х = а; зправа х = в.
Для розв’язання цієї задачі поступаємо так:
1.
@ ділимо основу трапеції, тобто [а, в] точками хі довільним способом на n чистин. (будемо мати n-1 точок) х1<x2<x3<…<xі-1<хі<…<хn-1.
@ довжину кожного відрізка хі - xі-1 = 
хі.
@ одержали відрізки [а, х1], [х1, х2], …, [xі-1, хі]…[ хn-1, в] – частинні відрізки;
@ через кожну із точок хі провод. прямі перпенд. до 0х до перетину з кривою у=f(х).
2.
@ На кожному із частинних відрізків ∆хі вибир. дов. т. 
.
@ В цих точках постав. перпенд.
@ Через кожну з точок 
провед. пряму.
@ одержимо n прямокутників.
@ довжина основи кожного з них є ∆хі , а висотами значення функції в цій точці.
3.
@ Площа одного такого прям. дорівнює: Si = f( 
)*∆хі (i=1, …n).
@ Суму цих площ позначимо: 
.
@ Очевидно, що це не буде площа цієї трапеції, а буде наближено до неї. 
4.
@ Тому природно, за площу криволінійної трапеції аАВв прийм. границю даної суми, якщо вона існує. 
.
@ 
.
Задача з механіки.
Обчислити роботу, яку викон. змінна сила F при переміщ. матеріальної точки з полож. А у полож. В, яка діє у напрямку переміщення. 
Для розв’язання цієї задачі поступ. так:
1.
@ ділимо шлях [а, в] точками Si (i=1, … , n-1) довільно на n частин;
@ Тоді Si - Si -1 = ∆Sі ;
2.
@ Вибир. 
є [Si -1, Si].
@ Будемо вважати, що на кожному із відрізків ∆Sі це сила стала і дорівнює з-ню її в т. 
. F ( 
).
3. Аі = F ( 
)∆Sі
Аn = 
F ( 
)∆Sі
А 
Аn
Природно, що за роботу, яку викон. це сила F на в-ку [а, в] слід прийняти:
; 
Обидві зад. привели нас до обчисл. однотипних границь.
2. Нехай задана функція у=f(х), х є [а, в].
1. Ділимо в-зок [а, в] дов. способом на т. хі на n частин.
Довжину кожного із в-ків хі – хі-1 = ∆хі.
Ці в-ки назив. частинними.
2. На кожному з цих частин. в-ків вибир. довільно 
і обчисл. з-ня в кожній з цих точок.
3. Склад. суму добутків:
= 
.
Це сума назив. інтегр. сумою на в-ку [а, в].
4. В-ня: Границя інтегральної суми 
при умові, що 
, якщо вона існує і не залежить ні від способу розвит. в-ка [а, в] на част. в-ки, ні від вибору точок 
на кожному з них назив. визначеним інтегралом від ф-ції f(х) на в-ку [а, в] і познач.: 
, де а, в – межі інтегрування; а – нижня; в – верхня; f(х) – підінтегр функції; f(х)dx – підінтегр. вираз.
Отже, за визнач. маємо 
.
Познач: 
, тоді 
.
.
Геометричний зміст.Див. зад. 1 (площина кр. трап.).
де 
, 
.
Механічний зміст. 
.
Див. зад. 2.
Суми Дарбу. Надалі будемо вважати не обхід. умова викон. 
Очевидно, що якщо f (x) неперервна, то за І т. Веєри вона обмежена і на цьому в-ку прим. своє найб. і найм. значення. 
, тобто [хі-1, хі]. 
лежить між ті і Мі. 
, 
. Назив нижньою (S) і верхньою (S) інтегральними сумами для фун-ції f (x) , або сумами Дербу. Якщо А помнож. на хі і просумув., то матимемо 
, то очевидно, що 
. Будь-яка інтегр. сума лежить між інтегр. сумами Дарбу. Тоді S, S – точні межі для інт. суми б.
Умови існування інтеграла. Для того, щоб інтеграл існував необхідно і достатньо, щоб 
. 
Доведення:
1. Необхідність.
Припустимо, що 
інтеграл існує, тобто 
, 
. 
, але суми S і S при заданому розбитті є для інтегральних сум б відповідно точними верхньою і нижньою границями. Тому для них матиме місце нерівність. Із 
, 
.
2. Доступність:
Дано: Нехай 
, тоді з цієї умови і умови 
, тоді 
, але тоді 
, 
.
Умови існування визн. інтегр. можна сформулюв. і через колив. фун-ції, яке має практичне застосування.
.
Тоді, 
.