Задачи для самостоятельного решения. В задачах 1-7 решить системы уравнений:

В задачах 1-7 решить системы уравнений:

1. . 2. .

3. .4. .

 

5. . 6.

7.

8.Найти сумму матриц

, .

9. Найти матрицу 2А+5В, если

, .

10..Найти значение матричного многочлена 2А2+3А+5Е при , если Е –единичная матрица третьего порядка.

11.Найти матрицу АВ, если , В= .

12. Дана матрица . Найти матрицу .

Ответы: 1.(1;-2;1). 2.(3;4;-1). 3.( 1+t; -2+3t; 4-t; t ).

4. ( -1+2t; 2-t; 3+t; t ). 5.( 0; 0; 0 ). 6.( 1 ;5 ;2 ). 7.( 1; 2; 3; 4 ).8. . 9.

10. . 11. АВ= . 12.

Занятие 3. Ранг матрицы. Вычисление обратной матрицы. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы

Вычисление ранга матрицы

Пусть дана матрица, содержащая m строк и n столбцов

А= .

Выделим в ней произвольным образом k строк и k столбцов. Элементы, которые находятся на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка; определитель этой матрицы называется миноромk-го порядка матрицы А. Очевидно, что в общем случае таких миноров k-го порядка может быть несколько. При этом максимальный порядок миноров равен минимальному из чисел m и n, т. е.

max k = min(m,n)

Из всех возможных миноров матрицы А выделим те из них, которые отличны от нуля. В свою очередь, среди этих миноров можно найти, по крайней мере, один минор наибольшего порядка.

Наибольший порядок миноров, отличных от нуля, называется рангом матрицы .

Для вычисления ранга матрицы приведем ее к ступенчатому виду: Будем изменять матрицу А размера m´n так, чтобы сохранялся ее ранг. В результате матрица приводится к виду:

  ; , . (3.1)
m-r{

Матрица (3.1) имеет ступенчатый вид, где , * - некоторые числа.

Ранг этой матрицы = r.

Ранг матрицы не меняют следующие операции:

1. Прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число;

2. Перемену местами строк, столбцов.

Рассмотрим элемент . Пусть , тогда умножая первую строку на подходящие числа (для 2-ой ( ), для 3-ей ( )) и прибавляя ее ко 2-ой и 3-ей и т. д. строкам. Преобразуем матрицу так, чтобы элементы первого столбца были равны нулю, тогда матрица примет вид:

.

Рассмотрим матрицу , образованную элементами 2-й, ..., n-й строк и столбцов. Добьемся того, чтобы , переставляя местами строки. Если этого сделать нельзя, то матрица уже имеет ступенчатый вид. Проделаем те же операции, что и с матрицей А, и так до тех пор, пока матрица не примет вид (3.1).

 

Пример 3.1. Найти ранг матрицы

А= .

Решение.Приведем матрицу к ступенчатому виду:

 

~ ~ .

 

1. Умножим каждый элемент 1-ой строки на (-2) и сложим со второй строкой; на (-4) и сложим с третьей строкой.

2.Умножим каждый элемент 2-ой строки на (-3) и сложим с 3-ей строкой.

3. Нетрудно увидеть, что максимальный порядок миноров этой матрицы отличных от нуля равен двум, поскольку минор третьего порядка содержит элементы 3-ей строки, которые равны нулю, следовательно определитель третьего порядка равен нулю, таким образом r(A) = 2.