Условие принадлежности прямой к плоскости. Пересечение прямой и плоскости
Условие принадлежности прямой кплоскости
выражается двумя равенствами
, (13.5)
первое из которых означает, что точка (x1,y1,z1), через которую проходит прямая, принадлежит плоскости, а второе- это условие параллельности прямой и плоскости.
Координаты точки пересечения прямой
и плоскости Ax+By+Cz+D=0 определяются из системы уравнений
(13.6)
Пример 13.4.Доказать, что прямая
лежит в плоскости
3x+2y-4z-23=0.
Решение.Воспользуемся формулой (4.5)
.
Следовательно, прямая лежит в данной плоскости.
Пример 13.5. Найти точку пересечения плоскости и прямой
Решение.Решим совместно систему уравнений прямой и плоскости. Подставим выражение для в уравнение плоскости
После упрощения получим откуда
Из уравнения прямой при
находим координаты точки пересечения
Таким образом, искомой точкой пересечения является точка
Пример 13.6.Дана прямая и вне ее точка М ( 1; 1; 1). Найти точку N, симметричную точке М относительно данной прямой.
Решение.Составим уравнение плоскости, проектирующей точку М на данную прямую, в виде
Используя условие перпендикулярности заданной прямой и проектирующей плоскости , находим уравнение плоскости
или
.
Найдем проекцию точки М на прямую, для чего совместно решим систему уравнений
Запишем уравнения прямой в параметрическом виде
Подставляя x, y, z в уравнение плоскости, найдем t =1/14. Отсюда x =8/7, y =3/ 14, z =-15/14.
Тогда координаты симметричной точки можно найти из формул середины отрезка, т.е.
,
или
,
откуда ,
,
. Следовательно,
N(9/7; - 4/7; - 22/7).
Пример 13.7. Вычислит расстояние d точки Р(1 -1;-2) от прямой
Решение 1.Выберем на прямой какую-нибудь точку, например М1( -3; -2; 8). Будем считать, что направляющий вектор прямой приложен в точке М1. Модуль векторного произведения векторов
и
определит площадь параллелограмма, построенного на этих векторах; высота этого параллелограмма, проведенная из вершины Р , будет являться искомым расстоянием d. Следовательно, для вычисления расстояния d имеем формулу
. Теперь вычислим координаты вектора
, зная координаты его конца и начала:
=
. Найдем векторное произведение векторов
и
:
. Определим его модуль
. Вычислим модуль вектора
:
. Найдем искомое расстояние
.
Решение 2.Составим уравнение плоскости, проектирующей точку Р на данную прямую, в виде
Используя условие перпендикулярности заданной прямой и проектирующей плоскости , находим уравнение плоскости
.
Найдем точку М пересечения прямой с построенной плоскостью. Для этого запишем уравнения прямой в параметрическом виде
Подставляя x, y, z в уравнение плоскости, найдем t = 2. Отсюда x = 3, y =2, z =-4. Расстояние между точками Р и М будет являться искомым расстоянием d. Следовательно
Пример 13.8.Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми
;.
.
Решение.Данные прямые являются скрещивающимися и лежат в параллельных плоскостях. Через прямую l2проведем плоскость параллельную прямой l1. В качестве нормального вектора возьмем , где
и
- направляющие векторы прямых.
=
Зная точку на прямой l2 - М2(21;-5; 2), запишем уравнение плоскости в виде
или
.
Расстояние от точки М1(-7; -4; -3) на прямой l1 и будет искомым расстоянием:
.
Вопросы для самопроверки
1. Как вычисляются углы между плоскостью и прямой?
2. Каковы условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости?
3. Как проверить, что прямая принадлежит плоскости?
4. Как найти точку пересечения прямой с плоскостью?
5. Как найти расстояние между параллельными прямыми, между скрещивающимися прямыми?