Занятие 17. Преобразование координат и упрощение уравнений кривых второго порядка
17.1. Преобразование координат.
Перейдем от системы координат Оху к новой системе 
(направление осей координат прежнее, за новое начало координат принята точка 
b)). Связь между старыми и новыми координатами некоторой точки М плоскости определяется следующими формулами:
или 
Первая пара формул дает выражение старых координат через новые, вторая-выражение новых координат через старые. При повороте осей координат на угол 
(начало координат прежнее, причем отсчитывается против часовой стрелки) зависимость между старыми координатами ( х, у) и новыми ( 
) определяется следующими формулами:
Пример 17.1.Сделан параллельный перенос осей координат, причем новое начало расположено в точке 
. Известны старые координаты точки 
Определить новые координаты этой точки.
Решение. Здесь 
b=-4, х=7, у=8.
Так как 
b, то 
=7-3=4, 
8-(-4)=12.
Пример 17.2На плоскости Оху дана точка М(4;3). Систему координат повернули вокруг начала координат так, что новая ось прошла через точку М. Определить старые координаты точки А, если известны ее новые координаты 
, 
Решение. Так как 
, то sin = 
, cos 
; получаем формулы преобразования координат: 
Положив 
, находим х=1, у=7.
Пример 17.3.Привести уравнение кривой к каноническому виду
.
Решение.Выделяя полные квадраты, преобразуем левую часть уравнения. Имеем
или
Вводя новые координаты 
, после деления на 18, получаем 
или 
.
Таким образом, получено уравнение окружности с центром в точке 
.
Пример 17.4.Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить линию, определяемую уравнением 
.
Решение.Выделяя полные квадраты , преобразуем левую часть уравнения. Имеем
;
;
.
Вводя новые координаты 
, получаем 
.
Таким образом, получено уравнение эллипса с центром в точке 
.
Пример 17.5.Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить линию, определяемую уравнением 
.
Решение.Выделяя полные квадраты , преобразуем левую часть уравнения. Имеем
;
.
Вводя новые координаты 
, получаем 
- уравнение гиперболы, для которой действительной осью является ось 
, а центр расположен в точке 
.
Пример 17.6.Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить линию, определяемую уравнением 
.
Решение.Выделяя полный квадрат, преобразуем левую часть уравнения. Имеем
;
;
.
Вводя новые координаты
,
получаем 
Это уравнение параболы, вершина которой в точке 
.
Пример 17.7.Привести к каноническому виду уравнение
Решение. 1). Преобразуем это уравнение, воспользовавшись формулами поворота осей координат
Имеем
или
Найдём из условия
т.е. приравниваем нулю коэффициент при 
. Получаем
уравнение 
.Отсюда 
Заметим, что эти значения 
соответствуют двум взаимно перпендикулярным направлениям. Поэтому, беря 
вместо 2, мы только меняем ролями оси и 
.
Пусть 
, тогда 
возьмём положительные значения 
и 
Тогда уравнение принимает вид
или
2) Выражение в скобках дополним до полных квадратов:
или
Приняв за новое начало точку 
применим формулы преобразования координат 
получим 
или 
(уравнение эллипса).
Пример 17.8.Привести к каноническому виду уравнение
Решение. 1). Преобразуем это уравнение, воспользовавшись формулами поворота осей координат
Имеем
или
Приравнивая нулю коэффициент при , получаем уравнение 
, откуда 
, т.е. 
Пусть 
, тогда 
. Тогда уравнение принимает вид
или
2) Выражение в скобках дополним до полного квадрата:
или 
Приняв за новое начало, точку 
применим формулы преобразования координат 
получим 
(уравнение параболы).
Вопросы для самопроверки
4. Каковы канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы?
5. Что называется фокусами, директрисами и эксцентриситетом эллипса, гиперболы, параболы?
6. Каковы геометрические свойства эллипса, гиперболы, параболы?
7. Что называется асимптотами гиперболы?
8. Каков геометрический смысл неравенства первой степени с двумя переменными?