Занятие 17. Преобразование координат и упрощение уравнений кривых второго порядка
17.1. Преобразование координат.
Перейдем от системы координат Оху к новой системе (направление осей координат прежнее, за новое начало координат принята точка
b)). Связь между старыми и новыми координатами некоторой точки М плоскости определяется следующими формулами:
или
Первая пара формул дает выражение старых координат через новые, вторая-выражение новых координат через старые. При повороте осей координат на угол (начало координат прежнее, причем
отсчитывается против часовой стрелки) зависимость между старыми координатами ( х, у) и новыми (
) определяется следующими формулами:
Пример 17.1.Сделан параллельный перенос осей координат, причем новое начало расположено в точке . Известны старые координаты точки
Определить новые координаты этой точки.
Решение. Здесь b=-4, х=7, у=8.
Так как
b, то
=7-3=4,
8-(-4)=12.
Пример 17.2На плоскости Оху дана точка М(4;3). Систему координат повернули вокруг начала координат так, что новая ось прошла через точку М. Определить старые координаты точки А, если известны ее новые координаты ,
Решение. Так как , то sin
=
, cos
; получаем формулы преобразования координат:
Положив , находим х=1, у=7.
Пример 17.3.Привести уравнение кривой к каноническому виду
.
Решение.Выделяя полные квадраты, преобразуем левую часть уравнения. Имеем
или
Вводя новые координаты
, после деления на 18, получаем
или
.
Таким образом, получено уравнение окружности с центром в точке .
Пример 17.4.Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить линию, определяемую уравнением .
Решение.Выделяя полные квадраты , преобразуем левую часть уравнения. Имеем
;
;
.
Вводя новые координаты , получаем
.
Таким образом, получено уравнение эллипса с центром в точке .
Пример 17.5.Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить линию, определяемую уравнением .
Решение.Выделяя полные квадраты , преобразуем левую часть уравнения. Имеем
;
.
Вводя новые координаты , получаем
- уравнение гиперболы, для которой действительной осью является ось
, а центр расположен в точке
.
Пример 17.6.Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить линию, определяемую уравнением .
Решение.Выделяя полный квадрат, преобразуем левую часть уравнения. Имеем
;
;
.
Вводя новые координаты
,
получаем
Это уравнение параболы, вершина которой в точке .
Пример 17.7.Привести к каноническому виду уравнение
Решение. 1). Преобразуем это уравнение, воспользовавшись формулами поворота осей координат
Имеем
или
Найдём из условия
т.е. приравниваем нулю коэффициент при . Получаем
уравнение .Отсюда
Заметим, что эти значения соответствуют двум взаимно перпендикулярным направлениям. Поэтому, беря
вместо 2, мы только меняем ролями оси
и
.
Пусть , тогда
возьмём положительные значения
и
Тогда уравнение принимает вид
или
2) Выражение в скобках дополним до полных квадратов:
или
Приняв за новое начало точку применим формулы преобразования координат
получим
или
(уравнение эллипса).
Пример 17.8.Привести к каноническому виду уравнение
Решение. 1). Преобразуем это уравнение, воспользовавшись формулами поворота осей координат
Имеем
или
Приравнивая нулю коэффициент при , получаем уравнение
, откуда
, т.е.
Пусть , тогда
. Тогда уравнение принимает вид
или
2) Выражение в скобках дополним до полного квадрата:
или
Приняв за новое начало, точку применим формулы преобразования координат
получим
(уравнение параболы).
Вопросы для самопроверки
4. Каковы канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы?
5. Что называется фокусами, директрисами и эксцентриситетом эллипса, гиперболы, параболы?
6. Каковы геометрические свойства эллипса, гиперболы, параболы?
7. Что называется асимптотами гиперболы?
8. Каков геометрический смысл неравенства первой степени с двумя переменными?