Точки разрыва и их классификация
Функция 
называется бесконечно малой при 
, если 
. Пусть и 
– бесконечно малые при и существует предел их отношения 
. Если 
, то и называются бесконечно малыми одного
порядка малости. Обозначение 
при . Если с = 1, то и называются эквивалентными бесконечно малыми (обозначение: 
при ). Если с = 0, то называется бесконечно малой высшего порядка, чем (обозначение 
при ).
При нахождении предела отношения двух бесконечно малых функций каждую из них можно заменить эквивалентной ей бесконечно малой, т.е. если 
при , то
.
Пример 5.1. Найти 
.
Решение. При 
функции 
и 
являются эквивалентными бесконечно малыми. Поэтому
Функция 
называется бесконечно большой при , если для любого положительного числа М существует такое число 
, что при всех х, удовлетворяющих условию 
, выполняется неравенство 
.
Обозначение
.
Функция называется непрерывной в точке 
, если:
1) функция определена в точке и ее окрестности;
2) существует конечный предел функции в точке ;
3) этот предел равен значению функции в точке , т.е.
На практике часто используют другое определение непрерывности функции в точке, равносильное данному.
Функция называется непрерывной в точке , если выпол-няются условия:
1) функция определена в точке и ее окрестности;
2) существуют конечные односторонние пределы
и 
;
3) эти пределы равны между собой и равны значению функции в точке .
Укажем основные свойства непрерывных функций.
1. Простейшие элементарные функции ( 
) непрерывны во всех точках, где они определены.
2. Если функции и 
непрерывны в точке , то и функции 
непрерывны в точке .
3. Если 
непрерывна в точке , а 
непрерывна в точке 
, то сложная функция 
непрерывна в точке .
4. Если функция 
непрерывна на отрезке 
и возрастает (или убывает) на этом отрезке, то обратная функция 
на соответствующем отрезке оси 
существует и является также непрерывной возрастающей (убывающей) функцией.
Точка , в которой не выполняется хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, называется точкой разрыва функции.
Если в точке существуют конечные односторонние пределы 
, такие что 
, то называется точкой разрыва первого рода. Если хотя бы один из пределов 
не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода. Если 
, но функция в точке не определена или если в точке определена, но 
, то называется точкой устранимого разрыва.
Пример 5.2. Найти точки разрыва функции 
и определить их вид.
Решение. Так как функции 
и 
непрерывны, то непрерывным будет и их отношение 
во всех точках, кроме точки 
. При 
не определена, следовательно, разрывна. Так как 
(см. п. 5.1 пример 12), то – точка устранимого разрыва. Если положить 
, то функция
будет непрерывной при всех .
Пример5.3. Установить вид точек разрыва функции
Решение. Область определения функции – вся числовая ось 
. Разрывы возможны только в точках и 
, в которых изменяется аналитическое задание функции. Найдем односторонние пределы в точке и значение функции в этой точке:
Следовательно, в точке функция непрерывна.
Рассмотрим точку :
Так как эти пределы конечны но не равны между собой, то х = 3 – точка разрыва первого рода. График функции f(x) изображен на рис. 5.1.
Рис. 5.1
Пример 5.4. Установить вид точек разрыва функции
Решение. Данная функция непрерывна всюду, кроме точки
х = –1, в которой f(x) не определена.
Поскольку
(т.к. 
при 
),
(т.к. 
при 
),
т.е. правосторонний предел бесконечен, то х = –1 – точка разрыва второго рода.