И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты
Если существует окрестность точки
такая, что для всякой точки
этой окрестности выполняется неравенство
(или
), то точка
называется точкой минимума (максимума) функции
. Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума.
Теорема 1 (необходимое условие экстремума).Если – точка экстремума функции
, то
или
не существует (
– критическая точка этой функции).
Теорема 2 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности
критической точки
, за исключением, быть может, самой этой точки. Если при этом в интервалах
и
производная
имеет противоположные знаки, то
– точка экст-ремума, причем если
при
и
при
, то
– точка максимума. Если же
при
и
сохраняет знак, то точка
не является точкой экстремума.
Теорема 3 (второе достаточное условие экстремума). Пусть дважды дифференцируема и
. Если
, то
– точка максимума функции
, если
, то
– точка минимума. Если же
, то требуются дополнительные исследования.
Если на интервале (a; b) всякая касательная располагается выше (ниже) дуги кривой, то график дифференцируемой функции на этом интервале называется выпуклым (вогнутым).
Если на интервале (a; b), то график функции является вогнутым на этом интервале; если же
, то график функции – выпуклый на (a; b).
Точка , при переходе через которую направление вы-пуклости графика функции меняется на противоположное, называется точкой перегиба.
Теорема 4 (необходимое условие точки перегиба). Если – абсцисса точки перегиба графика функции
, то
или
не существует.
Теорема 5 (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности
точки
, в которой
или
не существует. Если при этом в интервалах
и
вторая производная
имеет противоположные знаки, то
– точка перегиба.
Прямая l называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки М(x, f(x)) графика функции до прямой l стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат.
Для существования вертикальной асимптоты х = а необходимо
и достаточно, чтобы хотя бы один из односторонних пределов был равен бесконечности.
Для существования наклонной асимптоты необходимо и достаточно существование двух пределов
.
Пример 7.1. Для функции найти интервалы возрастания и убывания и точки экстремума.
Решение. Находя производную и приравнивая ее нулю, получаем
и
(при х = 0
не существует). Эти точки разбивают область определения функции на интервалы монотонности. Результаты исследования удобно представить в виде таблицы.
х | ![]() | –1 | (–1; 0) | (0; 1) | ( ![]() | ||
![]() | + | – | Не сущ. | + | – | ||
![]() | | ¯ | Не сущ. | | ¯ |
Следовательно, – интервалы возрастания функции;
– интервалы убывания функции;
– точки максимума. Точек минимума нет.
Пример 7.2. Для графика функции найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба.
Решение. Находим вторую производную . Критическими точками второй производной являются точки
0 и
6 ( в этих точках
не существует). Они разбивают область определения функции на три интервала, на которых сохраняется направление выпуклости или вогнутости. Результаты исследования удобно представить в виде таблицы.
х | ![]() | (0; 6) | ( ![]() | ||
![]() | – | Не сущ. | – | Не сущ. | + |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Таким образом, – интервалы выпуклости графи-ка функции;
– интервал вогнутости графика функции; (6, 0) – точка перегиба.
Пример 7.3. Найти асимптоты графика функции .
Решение. Прямая х = 1 является вертикальной асимптотой, так как
.
Наклонную асимптоту ищем в виде ,
где
Поэтому прямая – наклонная асимптота.