И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты
Если существует окрестность 
точки 
такая, что для всякой точки 
этой окрестности выполняется неравенство 
(или 
), то точка называется точкой минимума (максимума) функции 
. Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума.
Теорема 1 (необходимое условие экстремума).Если – точка экстремума функции 
, то 
или 
не существует ( – критическая точка этой функции).
Теорема 2 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности 
критической точки , за исключением, быть может, самой этой точки. Если при этом в интервалах 
и 
производная имеет противоположные знаки, то – точка экст-ремума, причем если 
при 
и 
при 
, то – точка максимума. Если же при 
и 
сохраняет знак, то точка не является точкой экстремума.
Теорема 3 (второе достаточное условие экстремума). Пусть дважды дифференцируема и . Если 
, то – точка максимума функции , если 
, то – точка минимума. Если же 
, то требуются дополнительные исследования.
Если на интервале (a; b) всякая касательная располагается выше (ниже) дуги кривой, то график дифференцируемой функции на этом интервале называется выпуклым (вогнутым).
Если 
на интервале (a; b), то график функции является вогнутым на этом интервале; если же 
, то график функции – выпуклый на (a; b).
Точка 
, при переходе через которую направление вы-пуклости графика функции меняется на противоположное, называется точкой перегиба.
Теорема 4 (необходимое условие точки перегиба). Если 
– абсцисса точки перегиба графика функции 
, то 
или 
не существует.
Теорема 5 (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция 
дважды дифференцируема в некоторой окрестности 
точки , в которой или не существует. Если при этом в интервалах 
и 
вторая производная 
имеет противоположные знаки, то 
– точка перегиба.
Прямая l называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки М(x, f(x)) графика функции до прямой l стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат.
Для существования вертикальной асимптоты х = а необходимо
и достаточно, чтобы хотя бы один из односторонних пределов 
был равен бесконечности.
Для существования наклонной асимптоты 
необходимо и достаточно существование двух пределов
.
Пример 7.1. Для функции 
найти интервалы возрастания и убывания и точки экстремума.
Решение. Находя производную 
и приравнивая ее нулю, получаем 
и 
(при х = 0 
не существует). Эти точки разбивают область определения функции на интервалы монотонности. Результаты исследования удобно представить в виде таблицы.
| х | 
| –1 | (–1; 0) | (0; 1) | (  )
| ||
|
| + | – | Не сущ. | + | – | ||
|
| | ¯ | Не сущ. | | ¯ |
Следовательно, 
– интервалы возрастания функции; 
– интервалы убывания функции; 
– точки максимума. Точек минимума нет.
Пример 7.2. Для графика функции 
найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба.
Решение. Находим вторую производную 
. Критическими точками второй производной являются точки 
0 и 
6 ( в этих точках 
не существует). Они разбивают область определения функции на три интервала, на которых сохраняется направление выпуклости или вогнутости. Результаты исследования удобно представить в виде таблицы.
| х | 
| (0; 6) | (  )
| ||
|
| – | Не сущ. | – | Не сущ. | + |
|
| 
|
| 
|
Таким образом, 
– интервалы выпуклости графи-ка функции; 
– интервал вогнутости графика функции; (6, 0) – точка перегиба.
Пример 7.3. Найти асимптоты графика функции 
.
Решение. Прямая х = 1 является вертикальной асимптотой, так как
.
Наклонную асимптоту ищем в виде ,
где 
Поэтому прямая 
– наклонная асимптота.