Булеві функції від однієї і двох змінних

 

Будь-яку логічну функцію, яка залежить від n змінних (n>2), можна виразити через функції від однієї або двох змінних. Тому логічні функції, що залежать від нуля, однієї і двох змінних, посідають особливе місце в теорії логічних функцій. Ці функції називають елементарними функціями.

Розглянемо ці функції.

При є дві різні функції: і . Функцію називають константою 0, а функцію – константою 1.

При є чотири , які наведено в табл. 7. Ці функції описують роботу одновходових цифрових схем.

 

Таблиця 7

x Функція Назва функції
  Константа 0
  Еквівалентність
  Інверсія x
  Константа 1

Булеві функції і є константами 0 і 1; вони приймають відповідно значення 0 і 1 при всіх значеннях аргументу, тобто збігаються з функціями нуля змінних. Ці функції описують схеми, виходи яких постійно під’єднані до рівнів логічного нуля і логічної одиниці відповідно. Значення функції співпадає зі значенням аргументу x. Логічний пристрій, який реалізує , називають повторювачем і в схемах позначають так, як показано на рис. 2,а. Булева функція перетворює 0 в 1, а 1 в 0. Таке перетворення називають інвертуванням. Логічний пристрій, який реалізовує цю функцію, називають інвертором або логічним елементом “НЕ” (рис. 2.б)

Європейська система позначень

а) б)

x 1 x 1

 

Американська система позначень

       
   
 
 


x
x

Рис. 2

Булеві функції від двох змінних (їх всього ) подано в табл. 8.

Усі булеві функції від двох змінних можна розбити на п’ять груп:

В групу I входять функції і , які зберігають постійні значення 0 і 1, відповідно, тобто, вони є константами.

В групу II входять чотири функції , , і , які істотно залежать тільки від одного аргументу. Це вироджені функції. Решта (десять) функцій залежать від двох змінних.

В групу III входять чотири функції, які приймають значення 1 тільки на одному наборі: (набір 11), (набір 10), (набір 01) і (набір 00).

В групу IV входять чотири функції (двоїсті до функцій третьої групи), які на трьох наборах приймають значення 1 і тільки на одномунаборі — значення 0, а саме: (набір 00), (набір 01), (набір 10) і (набір 11).

В гру­пу V вхо­дять дві фу­н­к­ції, які іс­то­т­но за­ле­жать від ко­ж­но­го із ар­гу­ме­н­тів і при­й­мають на двох на­бо­рах зна­че­н­ня 0, а на двох — зна­че­н­ня 1: , яка ­на набо­р­ах 01 і­ 1­0­ приймає ­зн­ачення 1­, а на наборах 11 і 00 приймає значення 1; , яка ­на набо­р­ах 00 і­ 1­1­ приймає ­зн­ачення 1­, а на наборах 01 і 10 приймає значення 0.

 

Таблиця 6
Функція Назва функції
   
I Константа 0
III “І” Кон’юнкція
III Заборона по
II Тотожно
III Заборона по
II Тотожно
V Сума по модулю 2
IV “АБО” Диз’юнкція
III “АБО-НЕ” Стрілка Пірса
V Еквівалентність
II Інверсія
IV Імплікація
II Інверсія
IV Імплікація
IV “І-НЕ” Штрих Шеффера
I Константа 1

 

З наведених 16-ти логічних функцій на практиці використовують­ся шість:

1. (функція “ I”),

2. (функція “АБО”),

3. (сума за модулем 2),

4. (еквівалентністьабо заперечення суми за модулем 2),

5. (функція Пірса або “ АБО ­– НЕ”),

6. (функція Шеффера або “І – НЕ”.


 

Логічні елементи, які реалізовують дані функції, мають аналогічні наз­ви, а їх позначення наведено на рис. 3,а-е.

Європейська система позначень

а) б) в)

& 1 =1

 

г) д) е)

& =1

Американська система позначень

Рис. 3