Означення та основні властивості визначників

Вступ

Методичні вказівки та індивідуальні завдання з курсу вищої математики за темами „Лінійна та векторна алгебра” та „Аналітична геометрія на площині та у просторі” складено відповідно до програми курсу.

Мета розробки: перевірка знань студентів з основних понять і методів курсу, прищеплення у студентів навичок самостійної роботи.

Типові розрахунки можуть бути використані викладачами для контролю знань студентів, для проведення аудиторних індивідуальних практичних занять, а також як домашні індивідуальні завдання.

Розділ 1. Лінійна алгебра

Матриці та дії над ними

Поняття матриці та відповідний розділ математики мають важливе значення для економістів, оскільки велика кількість досліджувальних об’єктів і процесів досить просто, а головне – компактно, подається в матричній формі.

Матрицею розміру називається множина з елементів , розміщених у вигляді прямокутної таблиці з рядків і стовпців:

(1.1)
, (1.2)

де – елемент матриці; – номер рядка; – номер стовпця.

Матриці бувають різних типів: прямокутні, квадратні, діагональні, одиничні, нульові та інші.

Квадратною матрицею називається матриця, в якій кількість рядків і стовпців однакова. Їх кількість вказує розмір матриці. Головною діагоналлю квадратної матриці називається діагональ, яка проходить через верхній лівий та нижній правий кути матриці, тобто сукупність елементів .

Квадратну матрицю, в якій всі елементи, окрім тих, що розташовані на головній діагоналі, дорівнюють нулю, називають діагональною матрицею.

Діагональну матрицю, в якій всі елементи дорівнюють одиниці, називають одиничною і позначають літерою .

. (1.3)

Матриця називається трикутною, якщо всі її елементи під (над) діагоналлю дорівнюють нулю.

Нульовою матрицею називається матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю.

Над матрицями, як і над числами, можна виконувати різні операції, причому деякі з них – аналогічні операціям над числами, а деякі – специфічні.

Розрізняють наступні дії над матрицями:

1. Операція порівняння: дві матриці та називаються рівними , якщо рівні їх відповідні елементи, тобто .

2. Множення матриці на число: добутком матриці на число називається матриця , елементи якої визначаються за формулою

. (1.4)

3. Додавання та віднімання матриць: сумою двох матриць і називається матриця , елементи якої визначаються за формулою

. (1.5)

Додавати можна матриці лише однакового розміру, тобто матриці з однаковою кількістю рядків і стовпців.

Властивості операцій додавання та віднімання матриць:

- (комутативність);

- (асоціативність);

- (дистрибутивність);

- (нейтральність нульової матриці).

4. Транспонування матриці: транспонованою матрицею до матриці називається така матриця, в якій рядки та стовпці міняються місцями, і позначається літерою .

5. Множення матриць: добутком двох матриць і називається матриця , елементи якої визначаються за формулою

. (1.6)

Перемножать можливо лише такі дві матриці, в яких кількість стовпців першої збігається з кількістю рядків другої:

. (1.7)

Добутком двох матриць є матриця, в якій кількість рядків дорівнює кількості рядків першої матриці, а кількість стовпців – кількості стовпців другої матриці.

Властивості добутку матриць:

- ;

- ;

- ;

- ;

- ;

- .

Означення та основні властивості визначників

Квадратній матриці можна поставити у відповідність число, що обчислюється за певним правилом і називається визначником. Його позначають символом або . Правило, за яким обчислюється визначник, залежить від порядку матриці.

Визначник другого порядку обчислюється наступним чином:

. (1.8)

Визначник другого порядку дорівнює різниці добутків елементів головної та побічної діагоналі.

Визначником третього порядку називається число, що обчислюється за таким правилом:

. (1.9)

Формула (1.9) – це формула „трикутника” для обчислення визначника третього порядку. Якщо елементи матриці третього порядку позначити точками, то три доданки, що беруться зі знаком „+”, лежать на головній діагоналі й у вершинах трикутників, одна із сторін яких паралельна головній діагоналі (рис.1.1).

Рис.1.1

Аналогічні співмножники від’ємних доданків лежать на побічній діагоналі й у вершинах трикутників, одна із сторін яких паралельна їй (рис.1.2).

Рис.1.2

За іншою схемою дописують два перші стовпці до матриці, внаслідок чого одержують прямокутну матрицю розміром . Тоді додатні та від’ємні доданки формули (1.9) беруть за схемою (правило Саррюса), зображеною на рис.1.3.

Рис.1.3

Мінором елемента визначника називається визначник меншого на одиницю порядку, отриманий із даного шляхом викреслення з нього -го рядка та -го стовпця.

Алгебраїчним доповненням елемента визначника називається величина, яку знаходять за формулою

. (1.10)

Визначник дорівнює сумі добутків будь-якого рядка чи стовпця на їхні алгебраїчні доповнення.

Властивості визначників:

- значення визначника не зміниться при його транспонуванні (тобто замінити рядки стовпцями і навпаки);

- якщо всі елементи деякого рядка чи стовпця визначника дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю;

- якщо у визначнику поміняти місцями два сусідні рядки чи стовпці, то знаки таких визначників будуть протилежними, а їх абсолютні значення – однаковими;

- визначник із двома однаковими рядками чи стовпцями дорівнює нулю;

- якщо деякий рядок чи стовпець визначника помножити на довільне число , то значення визначника зміниться у разів;

- значення визначника не зміниться, якщо до будь-якого рядка додати інший, помножений на довільне число або лінійну комбінацію інших рядків;

- сума добутків усіх елементів деякого рядка або стовпця на алгебраїчні доповнення до іншого рядка або стовпця визначника дорівнює нулю;

- якщо елементи будь-якого ряду визначника можна подати у вигляді суми, то цей визначник можна подати у вигляді деяких визначників;

- сума добутків елементів будь-якого ряду визначника на алгебраїчні доповнення, які відповідають елементам іншого паралельного ряду, дорівнює нулю.

У матричному численні важливу роль відіграває поняття оберненої матриці.

Матриця , яка задовольняє співвідношення

(1.11)

називається оберненою до матриці і позначається .

Для того, щоб квадратна матриця мала обернену матрицю, необхідно і достатньо, щоб її визначник не дорівнював нулю. Обернену матрицю можна знайти різними способами. Один із них полягає у побудові приєднаної матриці. Транспонована матриця, яка складена із алгебраїчних доповнень до їх елементів, називається приєднаноюі позначається :

. (1.12)

Тоді обернену матрицю можливо знайти наступним чином: