Векторний добуток векторів

Векторним добутком векторів та називається вектор , який задовольняє умови:

– напрям вектора такий, що він перпендикулярний до площини, в якій лежать вектори та , тобто ;

– вектор утворює з векторами та так звану праву трійку векторів, тобто вектор проведений так, що спостерігач бачить з його кінця найкоротший шлях від вектора до вектора проти годинникової стрілки (рис. 2.9);

– довжина вектора визначається за формулою (2.20)

. (2.20)
Рис. 2.9

Геометричний зміст векторного добутку: модуль векторного добутку векторів дорівнює площі паралелограма, сторонами якого є дані вектори.

Властивості векторного добутку векторів:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) , якщо ;

6) добутки ортів , , , , , , .

Якщо вектори задані в координатній формі та , то векторний добуток векторів можна записати у вигляді (2.21)

. (2.21)

Основні задачі, які розв’язуються з використанням векторного добутку векторів:

1) площа паралелограма, побудованого на векторах та

; (2.22)

2) площа трикутника, побудованого на векторах та

; (2.23)

3) висота паралелограма

; (2.24)

4) висота трикутника

. (2.25)

Змішаний добуток векторів

Змішаним (або векторно-скалярним) добуткомтрьох векторів , та називається сукупність операцій:

. (2.26)

Змішаний добуток трьох векторів – це скалярний добуток одного з цих векторів на векторний добуток двох інших векторів.

Геометричний зміст змішаного добутку: модуль змішаного добутку трьох векторів дорівнює об’єму паралелепіпеда (рис. 2.11), побудованого на цих векторах, як на його ребрах.

Рис. 2.11
(2.27)

Якщо вектори задані в координатній формі , та , то змішаний добуток векторів можна записати у вигляді

. (2.28)

Властивості змішаного добутку векторів:

1) ;

2) ;

3) ;

4) , якщо вектори , та компланарні;

5) , якщо вектори , та утворюють праву трійку векторів;

6) , якщо вектори , та утворюють ліву трійку векторів.

Основні задачі, які розв’язуються з використанням змішаного добутку векторів:

1) об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах , та

; (2.29)

2) об’єм піраміди, побудованої на векторах , та

; (2.30)

3) висота паралелепіпеда

; (2.31)

4) висота піраміди

. (2.32)

Індивідуальне завдання за темою „Векторна алгебра”

Дано координати точок . Необхідно:

1. Знайти модуль та напрямок вектора у просторі.

2. Знайти кут між векторами та .

3. Знайти проекцію вектора на напрям вектора .

4. Знайти вектор , перпендикулярний до вектора і до .

5. Обчислити площу трикутника АВС.

6. Знайти висоту паралелограма, побудованого на векторах і .

7. Обчислити об’єм піраміди .

8. Перевірити, чи колінеарні вектори і .

9. Перевірити, чи ортогональні вектори і .

10. Перевірити, чи належать точки до однієї площини.