Криві другого порядку: коло, еліпс, гіпербола та парабола
Коло – це геометричне місце точок площини, рівновіддалених від даної точки 
, яку називають центром кола; 
– радіус кола.
Рівняння кола має вид (3.12). Якщо центр кола співпадає з початком координат, то рівняння кола має вид (3.13)
|  ;
| (3.12) |
 .
| (3.13) | |
| Рис. 3.5 |
Еліпсом називається геометричне місце точок площини, сума відстаней яких від двох заданих точок 
та 
, що називаються фокусами, є величина стала 
, причому ця величина більша за відстань між фокусами.
|  та  – фокуси еліпса;
 – велика піввісь;
 – мала піввісь;
 – фокусна відстань;
 – ексцентриситет;
 – рівняння директрис.
|
| Рис. 3.6 |
Канонічне рівняння еліпса з фокусами на осі 
має вид
 .
| (3.14) |
Основна властивість еліпса полягає у співвідношенні
 .
| (3.15) |
Форма еліпса характеризується ексцентриситетом. Значення ексцентриситету оцінює «сплющеність» еліпса.
 .
| (3.16) |
Якщо 
, то при 
маємо коло, при 
, 
– відрізок. Це випадки виродженого еліпса.
Відстань деякої точки еліпса 
до його фокусів називаються фокальними радіусами:
 – правий,
 – лівий,
| (3.17) |
 .
| (3.18) |
Гіперболою називається геометричне місце точок, різниця відстаней яких від двох заданих точок та , що називаються фокусами, є величина стала , причому ця величина менша за відстань між фокусами.
| та – фокуси гіперболи;
– дійсна піввісь;
– уявна піввісь;
– фокусна відстань;
– ексцентриситет;
– рівняння директрис;
 – рівняння асимптот.
|
| Рис. 3.7 |
Канонічне рівняння гіперболи з фокусами на осі має вид
 .
| (3.19) |
Основна властивість гіперболи полягає у співвідношенні
 .
| (3.20) |
Значення ексцентриситету гіперболи
 .
| (3.21) |
Відстань деякої точки гіперболи до його фокусів називаються фокальними радіусами:
 – правий,
 – лівий,
| (3.22) |
 .
| (3.23) |
Параболоюназивається геометричне місце точок площини, рівновіддалених від заданої точки 
, яка називається фокусом, і від заданої прямої 
, яка називається директрисою.
|
 – фокус параболи;
 – рівняння директриси.
|
| Рис. 3.8 |
Канонічне рівняння параболи, симетричної відносно осі має вид
 .
| (3.24) |
Якщо 
, то вітки параболи розташовані праворуч, а якщо 
– ліворуч.
Парабола 
симетрична відносно осі 
: якщо , то вітки даної параболи розташовані догори, а якщо – донизу.
Індивідуальне завдання за темою „Аналітична геометрія на площині”
Завдання І.Задані координати вершин трикутника АВС. Знайти:
1) рівняння сторони АВ, записати його у вигляді рівняння у відрізках;
2) рівняння прямої BK, що проходить через точку В паралельно стороні АС;
3) рівняння висоти СD та її довжини;
4) кут між висотою CD та медіаною ВМ;
5) побудувати усі лінії.
| Варіант 1 | A (6;2) | B (30;-5) | C (12;19) |
| Варіант 2 | A (4;3) | B (-12;-9) | C (-5;15) |
| Варіант 3 | A (-1;7) | B (11;2) | C (17;10) |
| Варіант 4 | A (1;1) | B (-15;11) | C (-8;13) |
| Варіант 5 | A (-14;10) | B (10;3) | C (-8;27) |
| Варіант 6 | A (7;1) | B (-5;-4) | C (-9;-1) |
| Варіант 7 | A (-2;1) | B (-18;-11) | C (-11;13) |
| Варіант 8 | A (10;-1) | B (-2;-6) | C (-6;-3) |
| Варіант 9 | A (-12;6) | B (12;-1) | C (-6;23) |
| Варіант 10 | A (8;0) | B (-4;-5) | C (-8;-2) |
| Варіант 11 | A (11;0) | B (-5;4) | C (-1;-1) |
| Варіант 12 | A (10;2) | B (-6;6) | C (-2;1) |
| Варіант 13 | A (14;0) | B (-2;4) | C (2;-1) |
| Варіант 14 | A (13;2) | B (-3;6) | C (1;1) |
| Варіант 15 | A (11;3) | B (-5;7) | C (-1;2) |
| Варіант 16 | A (13;-1) | B (-3;3) | C (1;-2) |
| Варіант 17 | A (11;-2) | B (-5;6) | C (-1;1) |
| Варіант 18 | A (13;0) | B (-3;4) | C (1;-1) |
| Варіант 19 | A (11;-1) | B (-5;3) | C (-1;-2) |
| Варіант 20 | A (13;3) | B (-3;7) | C (1;2) |
| Варіант 21 | A (6;2) | B (30;-5) | C (12;19) |
| Варіант 22 | A (4;3) | B (-12;-9) | C (-5;15) |
| Варіант 23 | A (-1;7) | B (11;2) | C (17;10) |
| Варіант 24 | A (1;1) | B (-15;11) | C (-8;13) |
| Варіант 25 | A (-14;10) | B (10;3) | C (-8;27) |
| Варіант 26 | A (7;1) | B (-5;-4) | C (-9;-1) |
| Варіант 27 | A (-2;1) | B (-18;-11) | C (-6;-3) |
| Варіант 28 | A (10;-1) | B (-2;-6) | C (-6;23) |
| Варіант 29 | A (-12;6) | B (12;-1) | C (-6;23) |
| Варіант 30 | A (8;0) | B (-4;-5) | C (-8;-2) |
Завдання ІІ.Звести до канонічного вигляду рівняння кривої другого порядку, визначити її вид та знайти всі її параметри. Побудувати криву другого порядку.
| Варіант 1 | 
|
| Варіант 2 | 
|
| Варіант 3 | 
|
| Варіант 4 | 
|
| Варіант 5 | 
|
| Варіант 6 | 
|
| Варіант 7 | 
|
| Варіант 8 | 
|
| Варіант 9 | 
|
| Варіант 10 | 
|
| Варіант 11 | 
|
| Варіант 12 | 
|
| Варіант 13 | 
|
| Варіант 14 | 
|
| Варіант 15 | 
|
| Варіант 16 | 
|
| Варіант 17 | 
|
| Варіант 18 | 
|
| Варіант 19 | 
|
| Варіант 20 | 
|
| Варіант 21 | 
|
| Варіант 22 | 
|
| Варіант 23 | 
|
| Варіант 24 | 
|
| Варіант 25 | 
|
| Варіант 26 | 
|
| Варіант 27 | 
|
| Варіант 28 | 
|
| Варіант 29 | 
|
| Варіант 30 | 
|
Завдання ІІІ
| Варіант 1 | Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відомо, що еліпс проходить через точку А(0;-3) та його ексцентриситет дорівнює  .
|
| Варіант 2 | На параболі  знайти точку, відстань якої від директриси дорівнює 10.
|
| Варіант 3 | Скласти рівняння кола, що проходить через лівий фокус еліпса  і має центр у точці А(-1;-3).
|
| Варіант 4 | Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо відомо, що точки А(  ;0) та В(  ;1) лежать на гіперболі.
|
| Варіант 5 | Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо його фокуси F1(0; 0), F2(1; 1), а його велика вісь дорівнює 2. |
| Варіант 6 | Скласти канонічне рівняння параболи, якщо відомо, що парабола симетрична відносно осі ординат ОY та проходить через точки O(0;0) і N(6;-2). |
| Варіант 7 | Скласти рівняння кола, що проходить через точку О(0;0) і має центр в точці А, де А – вершина параболи  .
|
| Варіант 8 | Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо відомо, що відстань між вершинами дорівнює 8, а відстань між фокусами дорівнює 10. |
| Варіант 9 | Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відомо, що його мала вісь дорівнює 24, а відстань між фокусами дорівнює 10. |
| Варіант 10 | Скласти канонічне рівняння параболи, якщо відомо, що парабола симетрична відносно осі абсцис та проходить через точки O(0;0) і М(1;-4). |
| Варіант 11 | Скласти рівняння кола, що проходить через лівий фокус гіперболи  і має центр у точці А(0;-3).
|
| Варіант 12 | Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо відомо, що дійсна вісь гіперболи дорівнює 5, а вершини ділять відстань між центром і фокусом навпіл. |
| Варіант 13 | Скласти канонічне рівняння еліпса, що проходить через дві точки А(3;0) та В(2;  ).
|
| Варіант 14 | Скласти канонічне рівняння параболи, якщо відомо, що парабола має фокус Р(0;2) та вершину в точці О(0;0). |
| Варіант 15 | Скласти рівняння кола, що проходить через фокуси гіперболи  і має центр у точці А(0;-8).
|
| Варіант 16 | Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо відомо, що дійсна вісь дорівнює 6, і гіпербола проходить через точку А(9;-4). |
| Варіант 17 | Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відомо, що відстань між фокусами дорівнює 6, а ексцентриситет дорівнює  .
|
| Варіант 18 | Скласти рівняння параболи, якщо відоме рівняння директриси кривої  .
|
| Варіант 19 | Скласти рівняння кола, що проходить через фокуси еліпса  і має центр у точці А, де А – його верхня вершина.
|
| Варіант 20 | Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо її ексцентриситет дорівнює 2, а фокуси співпадають з фокусами еліпса з рівнянням  .
|