ПРИКЛАДИ РОЗВЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ
4.1. На шовкових нитках довжиною висять, дотикаючись одна до одної, дві кульки малого діаметра масою
кожна. На яку відстань розійдуться кульки, якщо кожній з них надати заряд
?
Дано:
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | СІ
![]() | Аналіз
![]() |
r - ? |
На малюнку заряджені кульки А і В зображені в положенні рівноваги.
Розглянемо умову рівноваги кульки В. На неї діє сила тяжіння , сила кулонівського відштовхування
і сила реакції нитки
. Рівновага настає при такому положенні кульки, коли рівнодіюча всіх трьох сил буде рівна нулю, тобто рівнодіюча
сил
і
виявиться напрямленою уздовж нитки і буде врівноважуватися силою реакції нитки
. З подібності трикутників
і
випливає:
або
. (1)
Для спрощення подальших розрахунків необхідно використати очевидну умову , що випливає з того факту, що сили електростатичного відштовхування швидко спадають із збільшенням відстані між кульками, тоді як сила тяжіння від цієї відстані не залежить. Таким чином у трикутнику
можна прийняти
і замінити співвідношення (1) співвідношенням
або
. Підставивши сюди значення
, взяте з закону Кулона
, розв’яжемо рівняння відносно
:
.
Обчислення:
.
Відповідь: кульки розійдуться на відстань: .
4.2. Суцільна металева сфера радіусом несе рівномірно розподілений заряд з поверхневою густиною
. Визначити напруженість і потенціал електричного поля в точках: на відстані
від центра сфери; на поверхні сфери; на відстані
від центра сфери. Побудувати графіки залежностей
і
.
Дано:
![]() ![]() ![]() ![]() | СІ
![]() ![]() ![]() | Аналіз
![]() |
![]() |
За умовою статичного розподілу зарядів всередині сфери напруженість поля дорівнює нулю і потенціал в довільній точці всередині сфери однаковий і рівний потенціалу
на поверхні сфери:
;
.
Заряджена сфера створює навколо себе таке поле, яке створював би точковий заряд (який дорівнює заряду, що знаходиться на сфері), поміщений в центр сфери.
Для будемо мати:
;
.
Для :
;
.
Обчислення:
;
;
;
.
Графіки відповідних залежностей мають вигляд:
Відповідь: напруженість: ,
,
; потенціал поля:
,
4.3. Електрон відривається від середини металевої нитки діаметром і довжиною
, на якій рівномірно розподілений заряд
. Вважаючи початкову швидкість електрона рівною нулю, визначити його енергію на відстані
від нитки.
Дано:
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | СІ
![]() ![]() ![]() | Аналіз
Енергія електрона дорівнює роботі сил електричного поля, затраченої на його переміщення. Для обчислень роботи необхідно заряд електрона помножити на різницю потенціалів точок початку і кінця шляху:
![]() |
![]() |
Оскільки шлях, пройдений електроном, значно менший довжини нитки, ми можемо використати вираз для різниці потенціалів двох точок у полі нескінченно довгого зарядженого циліндра:
, (2)
де – відстань точки з потенціалом
від осі циліндра;
– відстань точки з потенціалом
від осі циліндра;
– електрична стала;
лінійна густина заряду;
. (3)
В умовах завдання
, тому з рівнянь (1), (2) і (3) випливає:
.
Обчислення:
.
Часто енергію частинок виражають у електрон-вольтах. Так як , то
.
Відповідь: енергія електрона дорівнює : .
4.4. Визначити густину зв'язаних зарядів на поверхні скляної пластинки товщиною , яка заповнює проміжок між двома плоскими електродами, до яких прикладена напруга
.
Дано:
![]() ![]() ![]() ![]() | Аналіз
Напруженість ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
Позначивши через і
поверхневі густини зарядів пластин і зв'язаних зарядів відповідно, використаємо рівняння напруженості поля плоского конденсатора:
;
, (2)
де – електрична стала.
Підставимо значення і
з рівнянь (2) в (1):
. (3)
Оскільки напруженість поля двох різнойменних заряджених площин (поле плоского конденсатора):
,
то ,
де – відносна діелектрична проникність середовища.
Підставивши це значення в рівняння (3) і розв’язавши його відносно
, отримаємо:
(4)
У рівняння (4) слід підставити значення , отримане з умови однорідності поля.
Враховуючи, що , запишемо результат підстановки у формі:
.
Від’ємний знак відповідає тій обставині, що кожен зв'язаний заряд дотикається до заряду пластини протилежного знака.
Обчислення:
.
Відповідь: густина зв’язних зарядів дорівнює .
4.5. Всередині плоского конденсатора з площею пластин і
відстанню між ними , зарядженого до напруги
, знаходиться скло, яке повністю заповнює простір між електродами. Знайти приріст енергії конденсатора, що виникає при видаленні пластини. Зробити розрахунок для двох умов: а) за допомогою джерела струму на електродах підтримується незмінна напруга, б) електроди відключені від джерела струму до видалення пластини.
Дано:
![]() ![]() ![]() ![]() | Аналіз
Попередньо обрахуємо енергію ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
отримаємо:
;
а) якщо напруга залишається незмінною, то при видаленні скла енергія конденсатора стає рівною:
.
Віднімаючи звідси енергію отримаємо:
.
Обчислення:
.
б) Якщо конденсатор відключений від джерела струму до видалення скляної пластинки, то різниця потенціалів після видалення діелектрика зміниться. Однак у цьому випадку залишиться незмінним заряд обкладинок, який може бути обчислений із співвідношення:
. (3)
Енергію конденсатора після видалення діелектрика доцільно визначити з рівняння:
, (4)
де ємність
. (5)
З рівнянь (2), (3), (4), (5) отримаємо:
.
Віднімаючи звідси , знайдемо приріст енергії:
.
Обчислення:
.
Відповідь: приріст енергії конденсатора, що виникає при видаленні пластини: а) ; б)
.
4.6. На кінцях залізного провідника довжиною
з діаметром
ввімкненого в коло, напруга рівномірно зростає від
до
за
. Визначити кількість заряду, що пройшов за цей час через провідник.
Дано:
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | Аналіз
Внаслідок зміни напруги буде змінюватися сила струму ![]() ![]() ![]() |
![]() |
Оскільки умовами задачі задана напруга, а не сила струму, проведемо в рівнянні заміну:
,
тоді
. (2)
Опір провідника дорівнює:
.
Так як
,
то . (3)
За умовою задачі залежність напруги від часу можна виразити таким рівнянням:
, (4)
в якому постійну можна визначити, якщо прийняти
при
:
. (5)
Підставивши в рівняння (2) функцію з рівняння (4) проведемо інтегрування:
.
Підставимо сюди значення і
з рівняння (5) і (3) відповідно, отримаємо:
.
Обчислення:
.
Відповідь: заряд, що пройшов через провідник, дорівнює
.
4.7. Три гальванічні елементи з електрорушійними силами ,
і
та з внутрішніми опорами відповідно
,
і
з’єднані однойменними полюсами. Визначити силу струму, що пройде через кожний елемент.
Дано:
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() |
, (1)
, (2)
і перший закон Кірхгофа до будь-якого з вузлів:
. (3)
З рівнянь (2) і (3):
;
. (4)
З рівнянь (1) і (4) отримаємо:
.
Обчислення:
;
;
.
Суть від’ємного значення полягає в тому, що струм через третій елемент іде в напрямку протилежному тому, який вказано стрілкою на рисунку, тобто в напрямку
.
Відповідь: сила струму, що йде через кожний елемент дорівнює ,
,
.
4.8. При нікелюванні виробу його поверхня покривається шаром нікелю товщиною
. Визначити середню густину струму, якщо нікелювання тривало
години.
Дано:
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | СІ
![]() ![]() | Аналіз
Із формули об’єднаного закону Фарадея вираз для величини заряду, що пройшов через електроліт:
![]() ![]() ![]() |
![]() |
валентність, – атомна маса,
– число Фарадея.
Підставивши сюди
,
де – густина нікелю,
– площа поверхні, що нікелюється, отримаємо:
,
звідки
.
Обчислення:
.
Відповідь: середня густина струму дорівнює
.
4.9. Два паралельних нескінченно довгих провідника, по яким в одному напрямі проходять струми по , розташовані на відстані
один від одного. Визначити напруженість магнітного поля в точці, що знаходиться на відстані
від одного провідника і
від другого.
Дано:
![]() ![]() ![]() ![]() | СІ
![]() ![]() ![]() | ![]() |
![]() |
Для знаходження напруженості магнітного поля у вказаній точці
визначаємо напрями векторів напруженості
і
полів, які створюються кожним провідником окремо, та додамо їх геометрично (за правилом паралелограма), тобто:
.
Числове значення напруженості може бути знайдено за теоремою косинусів:
, (1)
де – кут між векторами
і
.
Значення напруженостей і
виражаємо відповідно через силу струму
та відстані
і
від провідників до точки
:
,
. (2)
Підставимо вирази (2) у вираз (1) та винесемо за знак кореня, отримаємо:
. (3)
Обчислимо . Зауважимо, що кут
між векторами
і
дорівнює куту
у трикутнику, утвореному струмами
(точки
і
)та точкою
.
(як кути з відповідно перпендикулярними сторонами). Тому за теоремою косинусів запишемо:
,
де – відстань між провідниками. Звідси:
.
Обчислення:
,
.
Відповідь: напруженість магнітного поля .
4.10. Визначити напруженість магнітного поля , що створюється відрізком нескінченно довгого прямого провідника в точці, рівновіддаленій від кінців відрізка та на відстані від його середини. Сила струму, що протікає по провіднику,
, довжина відрізка
.
Дано:
![]() ![]() | СІ
![]() ![]() | Аналіз
Для визначення напруженості магнітного поля, що створюється відрізком провідника, скористаємось законом Біо-Савара-Лапласа
![]() |
![]() |
де
– відстань від середини елемента провідника
до точки
,
– кут між напрямом струму в елементі провідника і напрямом радіус-вектора
. Радіус-вектор напрямлений від елемента провідника до точки, в якій обчислюється напруженість поля.
Виразимо і
:
;
.
Підставивши ці співвідношення у вираз (1), отримаємо:
.
Проінтегруємо цей вираз:
.
Оскільки точка симетрична відносно відрізка провідника, то
.
З урахуванням цього
.
Із малюнка:
.
Остаточно
.
Обчислення:
.
Відповідь: напруженість магнітного поля в точці :
.
4.11. Після проходження прискорюючої різниці потенціалів електрон потрапляє в однорідне магнітне поле напруженістю
. Визначити радіус кривизни траєкторії і частоту обертання електрона в магнітному полі. Вектор швидкості перпендикулярний лініям поля.
Дано:
![]() ![]() | Аналіз Радіус кривизни траєкторії електрона визначаємо із наступних міркувань: на рухомий в магнітному полі електрон діє сила Лоренца (дією сили тяжіння можна знехтувати, оскільки вона за порядком набагато менша). Оскільки сила Лоренца перпендикулярна до вектора швидкості, то |
![]() ![]() |
, або
, (1)
де – заряд електрона,
– його швидкість,
– індукція магнітного поля,
– маса електрона,
– радіус кривизни траєкторії,
– кут між напрямами вектора швидкості
і вектора індукції
. В нашому випадку
, тому
.
Із формули (1) визначаємо :
.
У цьому виразі імпульс можна знайти через кінетичну енергію
електрона, а вона, в свою чергу, визначається через прискорюючу напругу
:
,
,
тоді
.
Індукція і напруженість
магнітного поля у вакуумі пов’язані співвідношенням:
,
де – магнітна стала. Остаточно маємо:
.
Частота визначається через швидкість і радіус:
, або
.
Обчислення:
.
.
Відповідь: радіус кривизни траєкторії , частота обертання
.
4.12. В однорідному магнітному полі з індукцією рівномірно обертається рамка, яка має
витків. Площа рамки
. Рамка здійснює
. Визначте миттєве значення е.р.с., яке відповідає куту повороту рамки в
.
Дано:
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | СІ
![]() | Аналіз
При обертанні рамки в магнітному полі, в кожному її витку виникає е.р.с. індукції
![]() ![]() |
![]() |
. (1)
Знак мінус у цих виразах вказує напрям е.р.с. індукції за правилом Ленца: індукційний струм напрямлений так, що викликає протидію тому струму, який його викликав.
При обертанні рамки магнітний потік , який пронизує рамку в момент часу
,
змінюється за законом:, де
– магнітна індукція,
– площа рамки,
– кут повороту рамки, який залежить від частоти обертання:
.
Підставимо вираз для та
у вираз (1) та про диференціюємо по
, отримаємо:
.
Обчислення:
.
Відповідь: миттєве значення е.р.с.
4.13. На залізний стержень довжиною і перерізом
намотаний в один шар дріт так, що кожен сантиметр довжини стержня містить
витків. Визначте енергію магнітного поля в осерді соленоїда, якщо сила струму в обмотці
.
Дано:
![]() ![]() ![]() ![]() | СІ
![]() ![]() ![]() | Аналіз
Енергія магнітного поля соленоїда з індукцією ![]() ![]() ![]() |
![]() |
Індуктивність соленоїда залежить від числа витків, що припадають на одиницю довжини , від об’єму осердя
і від магнітної проникності
осердя:
,
де – магнітна стала.
Магнітну проникність виразимо із співвідношення між індукцією
і напруженістю
магнітного поля:
,
звідки .
Залежність між і
задається графічно:
Тоді енергія виражається:
.
Врахувавши, що , остаточно отримаємо:
.
Напруженість магнітного поля соленоїда можна знайти за формулою :
.
Обчислимо:
.
За графіком знаходимо, що значенню напруженості в залізі відповідає індукція, що дорівнює
.
Отримані значення підставимо у формулу для енергії та проведемо обчислення.
Обчислення:
.
Відповідь: енергія магнітного поля в осерді соленоїда
4.14. Максимальна напруга в коливальному контурі, що складається із котушки індуктивності і конденсатора ємністю
, рівна
, активний опір котушки достатньо малий. Знайти максимальне значення магнітного потоку через площу окремого витка, якщо число витків котушки
.
Дано:
![]() ![]() ![]() ![]() | СІ
![]() ![]() | Аналіз
В ідеальному коливальному контурі напруга на обкладках конденсатора і сила струму в котушці змінюється за гармонічним законом, але із зсувом по фазі на ![]() ![]() |
![]() |
,
.
Оскільки
, а
,
то
,
тому
.
Магнітний потік, що пронизує кожен виток котушки, і струм пов’язані співвідношенням:
,
отже максимальне значення потоку:
.
Циклічна частота виражається через ємність конденсатора
і індуктивність котушки :
,
тому
.
Обчислення:
.
Відповідь: максимальний магнітний потік, що пронизує кожен виток котушки .
4.15. У колі змінного струму послідовно з’єднані котушка з активним опором і індуктивністю
та конденсатор ємністю
, яка може змінюватись. При якому значенні ємності
потужність струму в колі буде максимальною? Визначити цю потужність.
Дано:
![]() ![]() ![]() | Аналіз
Потужність в колі змінного струму визначається через діюче значення сили струму,
![]() |
![]() |
,
де – повний опір кола ,
,
а діючі значення струму і напруги та їх максимальні значення пов’язані як ;
. Тоді формула для потужності матиме такий вигляд:
.
Максимальне значення потужності буде досягатись, коли реактивна складова опору:
, тобто при
.
У цьому випадку:
.
Відповідь: максимальна потужність при ємності
.
4.16. Коливальний контур, налаштований на довжину хвилі , має індуктивність
та активний опір
. На скільки відсотків зменшиться енергія цього контуру за час одного коливання? (На протязі одного коливання струм можна вважати синусоїдальним).
Дано:
![]() ![]() ![]() ![]() | Аналіз
Нехай у початковий момент конденсатор цього контуру заряджений до напруги ![]() ![]() ![]() |
![]() |
де – діюче значення струму,
– період коливань.
Вважаючи в межах одного періоду коливання синусоїдальними:
,
де – максимальне значення напруги на конденсаторі. Підставимо вираз для
у вираз для
:
,
врахувавши, що :
.
Тоді .
Період коливань пов’язаний з довжиною хвилі
і швидкістю поширення електромагнітних хвиль
:
.
Остаточно матимемо:
.
Обчислення:
.