Второй замечательный предел
В теории математического анализа доказано, что:
Данный факт носит название второго замечательного предела.
Справка: 
– это иррациональное число.
В качестве параметра 
может выступать не только переменная 
, но и сложная функция.Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности.
Пример 6
Найти предел 
Когда выражение под знаком предела находится в степени – это первый признак того, что нужно попытаться применить второй замечательный предел.
Но сначала, как всегда, пробуем подставить бесконечно большое число в выражение 
, по какому принципу это делается, разобрано на уроке Пределы. Примеры решений.
Нетрудно заметить, что при 
основание степени 
, а показатель – 
, то есть имеется, неопределенность вида 
:
Данная неопределенность как раз и раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но, как часто бывает, второй замечательный предел не лежит на блюдечке с голубой каемочкой, и его нужно искусственно организовать. Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметр 
, значит, в показателе нам тоже нужно организовать 
. Для этого возводим основание в степень , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в степень 
:
Когда задание оформляется от руки, карандашом помечаем:
Практически всё готово, страшная степень превратилась в симпатичную букву 
:
При этом сам значок предела перемещаем в показатель:
Далее, отметки карандашом я не делаю, принцип оформления, думаю, понятен.
Пример 7
Найти предел 
Внимание! Предел подобного типа встречается очень часто, пожалуйста, очень внимательно изучите данный пример.
Пробуем подставить бесконечно большое число в выражение, стоящее под знаком предела:
В результате получена неопределенность 
. Но второй замечательный предел применим к неопределенности вида . Что делать? Нужно преобразовать основание степени. Рассуждаем так: в знаменателе у нас 
, значит, в числителе тоже нужно организовать :
Теперь можно почленно разделить числитель на знаменатель:
Вроде бы основание стало напоминать 
, но у нас знак «минус» да и тройка какая-то вместо единицы. Поможет следующее ухищрение, делаем дробь трехэтажной:
Таким образом, основание приняло вид , и, более того, появилась нужная нам неопределенность . Организуем второй замечательный предел 
.
Легко заметить, что в данном примере 
. Снова исполняем наш искусственный прием: возводим основание степени в 
, и, чтобы выражение не изменилось – возводим в обратную дробь 
:
Наконец-то долгожданное 
устроено, с чистой совестью превращаем его в букву :
Но на этом мучения не закончены, в показателе у нас появилась неопределенность вида 
, раскрывать такую неопределенность мы научились на уроке Пределы. Примеры решений. Делим числитель и знаменатель на :
Готово.
А сейчас мы рассмотрим модификацию второго замечательного предела. Напомню, что второй замечательный предел выглядит следующим образом: . Однако на практике время от времени можно встретить его «перевёртыш», который в общем виде записывается так:
Пример 8
Найти предел 
Сначала (мысленно или на черновике) пробуем подставить ноль (бесконечно малое число) в выражение, стоящее под знаком предела:
В результате получена знакомая неопределенность . Очевидно, что в данном примере 
. С помощью знакомого искусственного приема организуем в показателе степени конструкцию 
:
Выражение 
со спокойной душой превращаем в букву :
Еще не всё, в показателе у нас появилась неопределенность вида 
. Раскладываем тангенс на синус и косинус (ничего не напоминает?):
Косинус нуля стремится к единице (не забываем помечать карандашом), поэтому он просто пропадает в произведении:
А что такое 
и к чему оно стремится, нужно уже знать, иначе «двойка»!
Как видите, в практических заданиях на вычисление пределов нередко требуется применять сразу несколько правил и приемов.
В 90-95% на зачете, экзамене Вам встретится первый замечательный предел или второй замечательный предел. Как быть, если попался «экзотический» замечательный предел? (со списком всех замечательных пределов можно ознакомиться в соответствующей методичке). Ничего страшного, практически все выкладки, приёмы решения для первого замечательного предела справедливы и для остальных замечательных пределов. Нужно решать их по аналогии.
Чтобы окончательно разобраться в пределах функций, и во 2-ом замечательном пределе в частности, настоятельно рекомендую ознакомиться с уроком
Методы решения пределов.
Да, так чему же равен предел 
?
Если у Вас получился ответ 
, значит в понимании высшей математики не всё так безнадежно = )