Интегрирование иррациональных функций. Выделяют четыре основных типа интегралов, содержащих иррациональные функции:
Выделяют четыре основных типа интегралов, содержащих иррациональные функции:
· Первый тип включает в себя интегралы, которые вычисляются методом замены переменной.
Примеры:
a) 
b) 
с) 
Таким образом, к первому типу можно отнести следующие подынтегральные выражения, представленные в таблице 5.
Таблица 5.
| № | подынтегральное выражение | преобразования | замена | dx |
| 1. | 
| 
| 
| |
| 2. | 
| 
| 
| 
|
| 3. | 
| 
|
|
|
| 4. | 
|  ,
| 
| |
| 5. |  ,
где 
| 
| 
|
· Ко второму типу относят интегралы вида 
, где Pn(x) – многочлен п-ой степени. Интеграл находится с помощью тождества, называемое методом неопределённых коэффициентов: 
= 
,
где Qn-1(x) – многочлен степени равной п-1 с неопределёнными коэффициентами, λ – некоторый неопределённый коэффициент.
Примеры:
а) 
Здесь n = 3, поэтому соответствующее тождество имеет вид:
.
Продифференцируем полученное выражение:
Умножим на 
и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х:
= 
=
Итого 
=
= 
b) 
Здесь n = 4, поэтому соответствующее тождество имеет вид:
Дифференцируем полученное выражение:
Перегруппировываем:
· К третьему типу относят интегралы вида 
.
Интегрируются с помощью тригонометрической подстановки, которая называются подстановкой Эйлера. При необходимости выделяют под радикалом полный квадрат, т.е. 
, и вводят обозначение: 
, 
.
Примеры:
a) 
b) 
с) 
Таким образом, введя новые обозначения имеем следующие подынтегральные выражения, которые будут иметь соответствующие тригонометрические подстановки, представленные в таблице 6.
| № | подынтегральное выражение | замена | dt |
|  или 
|  или
| |
|  или 
|  или
| |
|  или 
|  или
|
Таблица 6.
· Четвёртый тип 
, где m, n, и p – рациональные числа, называют интегралами от дифференциального бинома.
Академиком Чебышевым П.Л.[1] было доказано, что интеграл от дифференциального бинома может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях: Таблица 7.
| № | случаи | замена |
| р – целое число |  или  ,
где l-общий знаменатель m и n.
| |
 – целое число
| подстановкой  ,
где s – знаменатель числа р.
| |
 - целое число
|  , где s – знаменатель числа р.
|
Примеры:
a) 
b) 
Примеры интегралов, не выражающихся через
Элементарные функции
1. Интеграл вида 
:
a) Р(х) – многочлен третей или четвёртой степени без кратных
корней, такой многочлен называется эллиптическим:
· 
– эллиптический интеграл 1 рода;
· 
– эллиптический интеграл 2 рода;
· 
– эллиптический интеграл 3 рода.
(0 < k < 1, h – комплексное число)
b) Р(х) – многочлен степени выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим.
c) Р(х) – многочлен выражаемый через элементарные функции называется псевдоэллиптическим.
2. 
- интеграл Пуассона[2].
3. 
- интегралы Френеля[3].
4. 
- интегральный логарифм.
5. 
- интегральная показательная функция.
6. 
- интегральный синус.