Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Одержати субстанціональне диференціальне рівняння балансу (10.10)
Задача 1. Одержати субстанціональне диференціальне рівняння балансу (10.10).
Розв’язання. Будемо виходити з локального диференціального рівняння балансу (10.8) та його окремого випадку (10.9). Рівняння (10.8) можна записати як
. (1)
З векторного аналізу маємо
,
тому (1) набирає вигляду
і з урахуванням (10.9):
. (2)
Частинну похідну 
виразимо через повну (субстанціональну) похідну 
, яка враховує зміну з часом величини b також і за рахунок переносу цієї величини зі швидкістю 
:
. (3)
Отже, підставляючи з (3) у (2), одержимо після скорочення шукане рівняння (10.10).
Задача 2. Одержати вираз для утворення ентропії за рахунок дифузії довільного числа компонентів речовини (другий доданок правої частини (10.18)).
Розв’язання. Залишаючи в основному рівнянні (10.3) останній доданок, зміну з часом ентропії 
(за рахунок дифузії частинок і-го сорту) можна записати як
. (1)
У відсутності джерел частинок і-го компонента ( 
) з (10.10) матимемо
, (2)
де 
- масова густина частинок і-го сорту, 
- відповідна густина дифузійного потоку. Помножуючи (1) на rі , з урахуванням (2) запишемо
. (3)
Маючи на увазі 
, перепишемо (3) у вигляді
. (4)
Узявши в (4) суму за і та порівнявши з (10.11), отримуємо утворення ентропії 
за рахунок дифузії:
, (5)
а також відповідну густину потоку ентропії:
. (6)
Задача 3. В однорідному стержні на його кінцях підтримується постійна різниця температур . Використовуючи принцип Пригожина для стаціонарних слабо нерівноважних станів, одержати розподіл температури вздовж стержня.
Розв’язання. Для отримання повного утворення ентропії Р у процесі теплопровідності проінтегруємо одновимірний аналог (10.16) за довжиною стержня. Матимемо
(1)
і з урахуванням лінійного феноменологічного співвідношення (перший доданок правої частини (10.23)) 
:
, (2)
де 
- довжина стержня.
Згідно з принципом Пригожина залежність 
повинна мінімізувати функціонал (2). Таку функцію 
можна знайти як розв’язок основного рівняння варіаційного числення
. (3)
У нашому випадку 
- підінтегральна функція в (2), 
, 
, так що 
. 
беремо з (10.26). Отже, рівняння (3) набирає вигляду
,
звідки
, (4)
що з урахуванням 
дає
. (5)
Отже, функція , яка мінімізує повне утворення ентропії Р, лінійна за x, тобто величина Р мінімальна, коли тепловий потік 
є однорідним вздовж всієї довжини стержня.
Зазначимо, що результат (5) знаходиться у відповідності з рівнянням теплопровідності 
, оскільки з цього рівняння при виконанні (5) випливає 
- умова стаціонарності процесу.
Задача 4. Одержати співвідношення (10.38) для лінійного режиму.
Розв’язання. Використовуючи лінійний закон (10.19) і співвідношення Онсагера (10.21), для 
з (10.37) маємо
,
що й потрібно було довести.
10.3. Задачі для самостійного розв’язування
10.1. Визначити, при яких значеннях градієнта та швидкості зміни температури рідкого металу, що охолоджується від температури 103 К, він не є локально рівноважною системою. Довжина вільного пробігу l і середня швидкість 
електрона відповідно дорівнюють 10-5см і 108см/c.
10.2. Використовуючи закон Фур’є 
, одержати рівняння теплопровідності
,
в якому С - теплоємність одиниці об’єму.
10.3. Одержати утворення ентропії при проходженні струму в електричному колі (третій доданок правої частини (10.18)).
10.4. Одержати утворення ентропії за рахунок протікання хімічних реакцій (четвертий доданок правої частини (10.18)).