Определение.Дополнительным к событию называется событие , означающее, что событие не происходит

Теория вероятностей

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Основные понятия

Определение. Событиемназывается всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта.

При этом тот или иной результат опыта может быть получен с различной степенью возможности. То есть в некоторых случаях можно сказать, что одно событие произойдет практически наверняка, другое практически никогда.

В отношении друг друга события также имеют особенности, т.е. в одном случае событие может произойти совместно с событием , в другом – нет.

Определение. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других.

Классическим примером несовместных событий является результат подбрасывания монеты – выпадение лицевой стороны монеты исключает выпадение обратной стороны (в одном и том же опыте).

Определение. Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта.

Определение. Достоверным событиемназывается событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.

Например, если из коробки, содержащей только красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров белого – невозможное событие. Появление красного и появление зеленого шаров образуют полную группу событий.

Определение. События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью.

В приведенном выше примере появление красного и зеленого шаров – равновозможные события, если в коробке находится одинаковое количество красных и зеленых шаров.

Если же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление зеленого шара – событие менее вероятное, чем появление красного.

Исходя из этих общих понятий, можно дать определение вероятности.

Определение. Вероятностью события называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события равна отношению числа, благоприятствующих событию исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий.

Исход опыта является благоприятствующим событию , если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события .

Очевидно, что вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного – равна нулю. Таким образом, значение вероятности любого события – есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Пример 1. В коробке находится 10 шаров. 3 из них красные, 2 – зеленые, остальные белые. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет красным, зеленым или белым.

Появление красного, зеленого и белого шаров составляют полную группу событий. Обозначим появление красного шара – событие , появление зеленого – событие , появление белого – событие .

Тогда в соответствием с записанными выше формулами получаем:

Отметим, что вероятность наступления одного из двух попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Определение. Относительной частотой события называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие к общему числу опытов.

Отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота – после опыта.

Так в рассмотренном выше примере, если из коробки наугад извлечено 5 шаров и 2 из них оказались красными, то относительная частота появления красного шара равна:

Как видно, эта величина не совпадает с найденной вероятностью.

При достаточно большом числе произведенных опытов относительная частота изменяется мало, колеблясь около одного числа. Это число может быть принято за вероятность события.

Вообще говоря, классическое определение вероятности – довольно относительное.

Это обусловлено тем, что на практике сложно представить результат опыта в виде совокупности элементарных событий, доказать, что события равновероятные.

К примеру, при произведении опыта с подбрасыванием монеты на результат опыта могут влиять такие факторы как несимметричность монеты, влияние ее формы на аэродинамические характеристики полета, атмосферные условия и т.д.

Классическое определение вероятности неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов. Чтобы преодолеть этот недостаток вводится понятие геометрической вероятности, т.е. вероятности попадания точки в какой – либо отрезок или часть плоскости (пространства).

Так если на отрезке длиной выделен отрезок длины , то вероятность попадания наугад взятой точки в отрезок равна отношению .

Операции над событиями

Определение. События и называются равными, если осуществление события влечет за собой осуществление события и наоборот.

Определение. Объединениемили суммой событий называется событие , которое означает появление хотя бы одногоиз событий .

Определение. Пересечениемили произведениемсобытий называется событие , которое заключается в осуществлении всех событий .

Определение. Разностью событий и называется событие , которое означает, что происходит событие , но не происходит событие .

Определение.Дополнительным к событию называется событие , означающее, что событие не происходит.

Определение. Элементарными исходами опыта называются такие результаты опыта, которые взаимно исключают друг друга и в результате опыта происходит одно из этих событий, также каково бы ни было событие , по наступившему элементарному исходу можно судить о том, происходит или не происходит это событие.

Совокупность всех элементарных исходов опыта называется пространством элементарных событий.

Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Следствие 1: Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.

Определение. Противоположными называются два несовместных события, образующие полную группу.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Определение. Событие называется независимым от события , вероятность события не зависит от того, произошло событие или нет. Событие называется зависимым от события , если вероятность события меняется в зависимости от того, произошло событие или нет.

Определение. Вероятность события , вычисленная при условии, что имело место событие , называется условной вероятностью события .

Теорема. (Умножение вероятностей). Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило.

Также можно записать:

Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из определения условной вероятности.

Если события независимые, то , и теорема умножения вероятностей принимает вид:

В случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии, что вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все остальные события уже совершились.

Из теоремы произведения вероятностей можно сделать вывод о вероятности появления хотя бы одного события.

Если в результате испытания может появиться событий, независимых в совокупности, то вероятность появления хотя бы одного из них равна

Здесь событие обозначает наступление хотя бы одного из событий , а – вероятность противоположных событий .

Пример 2. Из полной колоды карт (52 шт.) одновременно вынимают четыре карты. Найти вероятность того, что среди этих четырех карт будет хотя бы одна бубновая или одна червонная карта.

Обозначим появление хотя бы одной бубновой карты – событие , появление хотя бы одной червонной карты – событие . Таким образом нам надо определить вероятность события .

Кроме того, события и – совместны, т.е. появление одного из них не исключает появления другого.

Всего в колоде 13 червонных и 13 бубновых карт.

При вытаскивании первой карты вероятность того, что не появится ни червонной ни бубновой карты равна , при вытаскивании второй карты - , третьей - , четвертой - .

Тогда вероятность того, что среди вынутых карт не будет ни бубновых, ни червонных равна .

Тогда .

Пример 3. Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной из костей?

Вероятность выпадения 6 очков при одном броске кости равна . Вероятность того, что не выпадет 6 очков - . Вероятность того, что при броске трех костей не выпадет ни разу 6 очков равна .

Тогда вероятность того, что хотя бы один раз выпадет 6 очков равна .