Классификация численных методов решения задачи Коши. Методы Эйлера, трапеций и К-Э
Рассмотрим на отрезке задачу Коши для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка
(1) с начальным условием
.(2)
Пусть задача Коши (1), (2) имеет единственное решение . На отрезке
зададим последовательность точек
(3)
Говорят, что на отрезке введена сетка. Сетка – это конечное множество точек, в данном случае, на отрезке. Точки называют узлами сетки. Узлы
называют граничными, остальные узлы сетки – внутренними. Если расстояние
между соседними узлами сетки не одинаково, то говорят, что задана неравномерная сетка. Если же
, то говорят, что на отрезке задана равномерная сетка с шагом
. В численных методах решения задачи Коши приближенное решение ищется в виде таблицы чисел
, приближающих значения
точного решения в узлах сетки. Расчетные формулы численных методов решения задачи Коши в большинстве случаев можно представить в виде
. (4) Здесь функция
опр-ся выбором сетки и способом построения метода. Если
,
, то расчетная формула (4) принимает вид
. (5). Такие методы называют явными одношаговыми. Если
,
, то расчетная формула (4) принимает вид
. (6). Соотв-ий метод называют неявным одношаговым. В случае когда в расчетной формуле (4)
или
, методы называют многошаговыми. При
многошаговые методы, как и одношаговые, называются явными, а при
- неявными.
Методы Эйлера, трапеций и Коши-Эйлера.
Рассмотрим задачу Коши для нелинейного о. д. у. первого порядка: , (7)
. (8)
На отрезке введем сетку
(9)
Геометр. вывод расчетной формулы метода Эйлера.
Пусть найдено уже приближение к решению
задачи (7), (8) в узле
сетки (9). Обозначим через
интегральную кривую дифференциального уравнения (7), проходящую через точку
. Проведем к этой интегральной кривой касательную в точке
до пересечения с вертикалью
в точке
и ординату точки
возьмем в качестве приближения
к решению
задачи (7), (8) в узле
.
Из прямоугольного треугольника найдем выражение для вычисления
.
Получили для решения задачи Коши (7), (8) расчетную формулу метода Эйлера: (10)
Аналитич. вывод расчетной формулы метода Эйлера.
Проведем разложение в ряд Тейлора (11)
Из этого разложения с учетом, что и
, получаем снова расчетное правило метода Эйлера
. (10)
Метод Эйлера является одношаговым и явным. Из формул (10) и (11) для погрешности метода Эйлера на шаге следует оценка
, (11)
где - максимальное значение вторых производных для интегральных кривых, лежащих в рассматриваемой окрестности решения
.
Погрешность одношагового метода есть величина на единицу меньшего порядка относительно
по сравнению с погрешностью на шаге (11). Таким образом, метод Эйлера относится к численным методам первого порядка точности.
Использование квадратурных формул для построения численных методов решения задачи Коши.
Расчетную формулу (10) метода Эйлера можно получить также, применяя квадратурную формулу левых прямоугольников к интегралу в формуле Ньютона-Лейбница . (12)
Если применить к вычислению интеграла в (10) квадратурную формулу трапеций, то получим расчетное правило (13) неявного метода Адамса второго порядка точности или метода трапеций.
Расчетная формула (11) представляет собой уравнение с одним неизвестным . Если начальное приближение вычислить по методу Эйлера и сделать одну итерацию при решении уравнения (13), то получим расчетную формулу
(8)
метода Коши-Эйлера. Это явный метод второго порядка точности.