Метод Данилевского раскрытия характеристического уравнения
М_Д предст. собой способ построения невырожденного преобр., приводящего матрицу к форме Фрабениуса
:
Найдем характеристический мног. матрицы
. Имеем:
Т.о., ,т.е. в первой строке матрицы
стоят коэфф. характ-ого мног. М_Д заключается в построении посл-ти матриц
. Рассм. первый шаг этого метода, в кот. строятся невырожденные преобр., приводящие матрицу
к матрице . Будем считать, что все операции корректны. На первом этапе поделим
столбец матрицы
на элемент
, т.е. проводим вычисления по форм.:
(1)
Полученный столбец умножим на элемент и прибавим к
столбец для
,
. Т.е. вычисления проводим по форм.
,
,
,
(2)
В результате указанных преобр. по форм. (1),(2) получим матрицу . Рассм. матрицу
Форм. (1),(2) можно записать в матрицу в виде так: . Так же заметим, что в результате указанных преобр. последняя строка матрицы
совпадает с последней строкой с матрицей
.
Непосредственно проверкой убеждаемся, что
Построим матрицу . (3)
Здесь вычисления проводим по форм.:
,
,
,
(4)
,
(5)
Из форм. (4) видно,что при умножении матрицы на матрицу
меняется только
строка. Таким образом, на первом шаге построена невырожденное преобр. (3) такое, что последняя строка матрицы
совподает с последней строкой матрицы
. Переходим к построению матрицы матрицы
.
столбец этой матрицы делим на элемент и продолжаем указанный процесс. В результате получ. матрицу
, у кот.
и
строки совпадают с матрицей
, и т.д. На последнем шаге будет построена матрица
, т.е. будет построено преобр.
приводящее матрицу
к форме Фрабениуса.
Выше рассмотрено так наз. регулярный случай, т.е. случай, когда все . Имеет место два нерегулярных случая.
I. Пусть ,но существует
,что
(т.е. в
строке матрицы
существует ненулевой элемент, располож. левое элемента
). Тогда в матрице
поменяем местами столбцы
и
. Рассм. матрицу
Перестановка в матрице местами столбцов
и
представляет собой умножение матрицы
на матрицу
справа.
Заметим что обратной перестановкой столбцов востанавл. исходный вид матрицы, поэтому .
Рассм. матрицу (6). При умножении некоторой матрицы на матрицу
слева, у исходной матрицы меняются строки с номерами
и
местами (но не изменяется строка
).
Т.о. в рассм. нерегулярном случае выполн. преобр. (6), кот. будет невырожденным. После этого для матрицы имеем регулярный случай.
II. Пусть и кроме этого
. В этом случае матрица
примет следующую структуру:
Характ. мног. т.е. исходная задача сведена к задаче построения преобр. подобия, приводящего матрицу
, к форме Фрабениуса, причем порядок этой матрицы меньше порядка исходной матрицы.